Considerando o esquema de carregamento dado onde
\mathrm{q}=44 \mathrm{kN} / \mathrm{m} e
\mathrm{P}=51 \mathrm{kN},
Se:
Forneça o valor da tensão de cisalhamento (valor absoluto) no centróide da seção do meio do vão?
\mathrm{q}=44 \mathrm{kN} / \mathrm{m} e
\mathrm{P}=51 \mathrm{kN},
Se:
Forneça o valor da tensão de cisalhamento (valor absoluto) no centróide da seção do meio do vão?
Passo 1
O enunciado pede: “Forneça o valor da tensão de cisalhamento (valor absoluto) no centróide da seção do meio do vão”. Os dados fornecidos são (peguei estes números do seu enunciado):
Observação importante: o enunciado menciona um “esquema de carregamento dado” (uma figura). Essa figura não foi enviada aqui. Para determinar numericamente a tensão de cisalhamento no centróide da seção do meio do vão é necessário saber a posição/exata aplicação da carga concentrada
e as condições de apoio (por exemplo, viga simplesmente apoiada e
aplicada exatamente no meio, etc.). Sem essa informação a força de cisalhamento interna
na seção do meio não está determinada.
Vou então proceder assim: explico o procedimento completo e as fórmulas necessárias, e em seguida avalio o caso mais comum (viga simplesmente apoiada com
distribuída em todo o vão e
aplicada no meio do vão). Se esse for o caso do seu esquema, então dá para obter um valor numérico final; se o esquema for diferente, o procedimento mostra o que falta e como ajustar.
Passo 2
Como se obtém a força de cisalhamento
em uma seção do meio do vão?
- Em mecânica dos corpos rígidos/estruturas, para achar a força cortante interna
numa seção transversal faz-se o equilíbrio de forças verticais para a parte da viga à esquerda (ou à direita) da seção. Portanto é preciso conhecer a posição das cargas e as reações de apoio. - Exemplo padrão (caso muito comum): viga simplesmente apoiada, carregamento uniformemente distribuído
ao longo de todo o vão de comprimento e carga concentrada aplicada exatamente no meio do vão. - As reações nos apoios são simétricas:
. - A força cortante imediatamente à esquerda da seção de meio-vão (na seção central
) é
Substituindo obtemos Ou seja, para esse caso particular a contribuição do se anula no meio (pela simetria) e a força de cisalhamento interna no meio vale , independente de . - As reações nos apoios são simétricas:
- Se o seu esquema for diferente (por exemplo
não no meio, apoios engastados, carregamento parcial por , etc.), então a expressão para muda e é necessário conhecer a figura para executar o equilíbrio.
Decisão adotada: a partir daqui vou calcular a tensão de cisalhamento supondo o caso padrão (viga simplesmente apoiada,
uniformemente ao longo do vão e
aplicada no meio). Se esse não for o seu esquema, me diga (ou compare com a sua figura) — aí a fórmula de
muda e a parte numérica precisa ser refeita.
Passo 3
Com a hipótese acima (
no meio ), a força de cisalhamento na seção do meio é
Passo 4
Agora: como se converte
em tensão de cisalhamento no centróide da seção?
- A fórmula geral da tensão de cisalhamento transversal em vigas é a fórmula de Jourawski:
onde:
-
é a força cortante interna na seção (unidade de força, aqui kN), -
é o primeiro momento da área localizada acima (ou abaixo) da linha onde se quer a tensão em relação ao eixo neutro (unidade: área comprimento, por ex. ), -
é o momento de inércia da seção total em relação ao eixo neutro (unidade: ), -
é a largura efetiva pela qual a tensão atua na região considerada (espessura ao longo da qual se calcula , em ). - Para uma seção retangular (hipótese adicional: assumir seção retangular de largura
e altura ; se a sua seção for diferente — T, I, etc. — é preciso os detalhes da geometria), os valores são: - Área total
. - Momento de inércia em torno do eixo neutro (centro)
. - Para calcular a tensão no centróide (no eixo neutro), usa-se o primeiro momento da metade superior (ou inferior) da seção: a área acima do neutro tem área
e seu centroide está a uma distância do neutro, logo
- A largura efetiva
no eixo neutro na seção retangular é simplesmente .
- Área total
- Substituindo
, , na fórmula de Jourawski:
Note que aqui houve um cuidado: a fórmula correta é
e para retangular
. Simplificando (cancelando
):
Mais direto e conhecido: para seção retangular a tensão máxima (no eixo neutro) resulta na forma clássica
(Mesma expressão obtida antes; aqui
.)
Passo 5
Agora faço a conta numérica para o caso retangular com os seus
e
. Usarei unidades coerentes fáceis de manipular: deixo
em
e
em
. A tensão em
pode ser convertida em
multiplicando por
(pois
).
Substituindo:
Com
,
,
:
Calculemos passo a passo:
Convertendo para MPa:
Passo 6
Interpretação final e ressalvas:
- Resultado numérico (assumindo: viga simplesmente apoiada,
no meio do vão, seção retangular de largura e altura ):
- Se a viga ou o carregamento forem diferentes (por exemplo
fora do meio, aplicado apenas em parte do vão, seção não-retangular — T, I, caixa — ou se não for a largura da alma no ponto onde se calcula ), então: - a força cortante
no meio muda e é preciso recalcular por equilíbrio; - a geometria da seção (momento de inércia
, primeiro momento e largura efetiva ) muda a partir da qual a tensão é calculada.
- a força cortante
- Dica prática para a prova: identifique primeiro a posição das cargas e apoios e obtenha
na seção pedida por equilíbrio. Em seguida use . Para seções retangulares memorize a forma reduzida (ela aparece frequentemente e permite conta rápida).