Considerando o esquema de carregamento dado onde
\mathrm{q}=44 \mathrm{kN} / \mathrm{m} e
\mathrm{P}=51 \mathrm{kN},
Se:
\mathrm{b}=31,2 \mathrm{~cm}
\mathrm{e}=7,8 \mathrm{~cm}
\mathrm{h}=39 \mathrm{~cm}
\mathrm{d}=3,9 \mathrm{~cm}
Forneça o valor da tensão de cisalhamento (valor absoluto) no centróide da seção do meio do vão?

Passo 1

O enunciado pede: “Forneça o valor da tensão de cisalhamento (valor absoluto) no centróide da seção do meio do vão”. Os dados fornecidos são (peguei estes números do seu enunciado):
  • q=44\\ \mathrm{kN/m}
  • P=51\\ \mathrm{kN}
  • b=31{,}2\\ \mathrm{cm}
  • e=7{,}8\\ \mathrm{cm}
  • h=39\\ \mathrm{cm}
  • d=3{,}9\\ \mathrm{cm}
Observação importante: o enunciado menciona um “esquema de carregamento dado” (uma figura). Essa figura não foi enviada aqui. Para determinar numericamente a tensão de cisalhamento no centróide da seção do meio do vão é necessário saber a posição/exata aplicação da carga concentrada P e as condições de apoio (por exemplo, viga simplesmente apoiada e P aplicada exatamente no meio, etc.). Sem essa informação a força de cisalhamento interna V na seção do meio não está determinada.
Vou então proceder assim: explico o procedimento completo e as fórmulas necessárias, e em seguida avalio o caso mais comum (viga simplesmente apoiada com q distribuída em todo o vão e P aplicada no meio do vão). Se esse for o caso do seu esquema, então dá para obter um valor numérico final; se o esquema for diferente, o procedimento mostra o que falta e como ajustar.

Passo 2

Como se obtém a força de cisalhamento V em uma seção do meio do vão?
  • Em mecânica dos corpos rígidos/estruturas, para achar a força cortante interna V numa seção transversal faz-se o equilíbrio de forças verticais para a parte da viga à esquerda (ou à direita) da seção. Portanto é preciso conhecer a posição das cargas e as reações de apoio.
  • Exemplo padrão (caso muito comum): viga simplesmente apoiada, carregamento uniformemente distribuído q ao longo de todo o vão de comprimento L e carga concentrada P aplicada exatamente no meio do vão.
    • As reações nos apoios são simétricas: R_A=R_B=\dfrac{qL}{2}+\dfrac{P}{2}.
    • A força cortante imediatamente à esquerda da seção de meio-vão (na seção central x=L/2) é
    V_{\text{meio}} = R_A - q\frac{L}{2}.Substituindo R_A obtemos V_{\text{meio}} = \left(\frac{qL}{2}+\frac{P}{2}\right) - q\frac{L}{2} = \frac{P}{2}.Ou seja, para esse caso particular a contribuição do q se anula no meio (pela simetria) e a força de cisalhamento interna no meio vale V=P/2, independente de L.
  • Se o seu esquema for diferente (por exemplo P não no meio, apoios engastados, carregamento parcial por q, etc.), então a expressão para V_{\text{meio}} muda e é necessário conhecer a figura para executar o equilíbrio.
Decisão adotada: a partir daqui vou calcular a tensão de cisalhamento supondo o caso padrão (viga simplesmente apoiada, q uniformemente ao longo do vão e P aplicada no meio). Se esse não for o seu esquema, me diga (ou compare com a sua figura) — aí a fórmula de V muda e a parte numérica precisa ser refeita.

Passo 3

Com a hipótese acima ( P no meio ), a força de cisalhamento na seção do meio é
V = \frac{P}{2} = \frac{51\\ \mathrm{kN}}{2} = 25{,}5\\ \mathrm{kN}.

Passo 4

Agora: como se converte V em tensão de cisalhamento no centróide da seção?
  • A fórmula geral da tensão de cisalhamento transversal em vigas é a fórmula de Jourawski:
\tau = \frac{V\,Q}{I\,t},
onde:
  • V é a força cortante interna na seção (unidade de força, aqui kN),
  • Q é o primeiro momento da área localizada acima (ou abaixo) da linha onde se quer a tensão em relação ao eixo neutro (unidade: área \times comprimento, por ex. \mathrm{cm}^3),
  • I é o momento de inércia da seção total em relação ao eixo neutro (unidade: \mathrm{cm}^4),
  • t é a largura efetiva pela qual a tensão atua na região considerada (espessura ao longo da qual se calcula \tau, em \mathrm{cm}).
  • Para uma seção retangular (hipótese adicional: assumir seção retangular de largura b e altura h; se a sua seção for diferente — T, I, etc. — é preciso os detalhes da geometria), os valores são:
    • Área total A = b h.
    • Momento de inércia em torno do eixo neutro (centro) \displaystyle I = \frac{b h^3}{12}.
    • Para calcular a tensão no centróide (no eixo neutro), usa-se o primeiro momento da metade superior (ou inferior) da seção: a área acima do neutro tem área A' = b\cdot\frac{h}{2} e seu centroide está a uma distância \frac{h}{4} do neutro, logo
    Q = A' \cdot \bar{y} = \left(b\cdot\frac{h}{2}\right)\cdot\frac{h}{4} = \frac{b h^2}{8}.
    • A largura efetiva t no eixo neutro na seção retangular é simplesmente b.
  • Substituindo Q, I, t na fórmula de Jourawski:
\tau_{\text{centro}} = \frac{V\cdot\left(\dfrac{b h^2}{8}\right)}{\left(\dfrac{b h^3}{12}\right)\cdot b}
Note que aqui houve um cuidado: a fórmula correta é \tau = \dfrac{V Q}{I t} e para retangular t=b. Simplificando (cancelando b):
\tau_{\text{centro}} = \frac{V \dfrac{h^2}{8}}{\dfrac{h^3}{12}} = V\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{h} = \frac{3V}{2 b h}\times b \text{ (ao arrumar unidades) }.
Mais direto e conhecido: para seção retangular a tensão máxima (no eixo neutro) resulta na forma clássica
\tau_{\text{centro}} = \frac{3V}{2A} = \frac{3V}{2 b h}.
(Mesma expressão obtida antes; aqui A=b h.)

Passo 5

Agora faço a conta numérica para o caso retangular com os seus b e h. Usarei unidades coerentes fáceis de manipular: deixo V em \mathrm{kN} e b,h em \mathrm{cm}. A tensão em \mathrm{kN/cm^2} pode ser convertida em \mathrm{MPa} multiplicando por 10 (pois 1\\ \mathrm{kN/cm^2}=10\\ \mathrm{MPa}).
Substituindo:
\tau_{\text{centro}} = \frac{3V}{2 b h}.
Com V=25{,}5\\ \mathrm{kN}, b=31{,}2\\ \mathrm{cm}, h=39\\ \mathrm{cm}:
\tau_{\text{centro}} = \frac{3\cdot 25{,}5}{2\cdot 31{,}2\cdot 39}\\ \mathrm{kN/cm^2}.
Calculemos passo a passo:
2 b h = 2\cdot 31{,}2\cdot 39 = 2433{,}6,
3V = 3\cdot 25{,}5 = 76{,}5,
\tau_{\text{centro}} = \frac{76{,}5}{2433{,}6}\\ \mathrm{kN/cm^2} \approx 0{,}03146\\ \mathrm{kN/cm^2}.
Convertendo para MPa:
\tau_{\text{centro}} \approx 0{,}03146\\ \mathrm{kN/cm^2}\times 10 = 0{,}3146\\ \mathrm{MPa}.

Passo 6

Interpretação final e ressalvas:
  • Resultado numérico (assumindo: viga simplesmente apoiada, P no meio do vão, seção retangular de largura b e altura h):
\tau_{\text{centro}} \approx 0{,}3146\\ \mathrm{MPa}\quad(\text{valor absoluto}).
  • Se a viga ou o carregamento forem diferentes (por exemplo P fora do meio, q aplicado apenas em parte do vão, seção não-retangular — T, I, caixa — ou se b não for a largura da alma no ponto onde se calcula \tau), então:
    • a força cortante V no meio muda e é preciso recalcular V por equilíbrio;
    • a geometria da seção (momento de inércia I, primeiro momento Q e largura efetiva t) muda a partir da qual a tensão é calculada.
  • Dica prática para a prova: identifique primeiro a posição das cargas e apoios e obtenha V na seção pedida por equilíbrio. Em seguida use \tau=VQ/(I t). Para seções retangulares memorize a forma reduzida \tau_{\max} = 3V/(2 b h) (ela aparece frequentemente e permite conta rápida).

Resposta

\tau_{\text{centro}} \approx 0{,}3146\\ \mathrm{MPa} (assumindo viga simplesmente apoiada com P no meio do vão e seção retangular de largura b e altura h).

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