Considerando o esquema de carregamento dado onde
\mathrm{q}=44 \mathrm{kN} / \mathrm{m} e
\mathrm{P}=51 \mathrm{kN},
Se:
\mathrm{b}=31,2 \mathrm{~cm} \quad \mathrm{e}=7,8 \mathrm{~cm}
\mathrm{h}=39 \mathrm{~cm} \quad \mathrm{~d}=3,9 \mathrm{~cm}
Forneça o valor da tensão normal no ponto B na seção de maior momento positivo do vão?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a tensão normal no ponto B na seção de maior momento positivo do vão.
Dados fornecidos (peguei os números do enunciado):
  • \;q=44\\ \mathrm{kN/m}
  • \;P=51\\ \mathrm{kN}
  • \;b=31{,}2\\ \mathrm{cm}
  • \;e=7{,}8\\ \mathrm{cm}
  • \;h=39\\ \mathrm{cm}
  • \;d=3{,}9\\ \mathrm{cm}
Informação que está faltando e é essencial para obter um valor numérico:
  • Esquema geométrico do vão (comprimento do vão \,L, apoio, posição da carga concentrada P ao longo do vão, etc.). O enunciado diz “considerando o esquema de carregamento dado”, mas esse esquema não foi enviado.
  • Localização exata do ponto B na seção transversal (por exemplo: fibra extrema superior/inferior, centro da barra de armadura, ou outra posição). Os parâmetros e e d são fornecidos, mas não está explícito se e é a distância do bordo até B, a folga de cobrimento, o centróide da armadura, etc.
Sem o esquema do vão (posição de P e comprimento \,L) e sem a indicação precisa de onde fica o ponto B na seção, não é possível dar um valor numérico definitivo da tensão. A seguir eu explico passo a passo o método completo para calcular a tensão assim que esses dados estiverem disponíveis — e mostro fórmulas e números parciais que você poderá aplicar imediatamente quando souber o comprimento do vão e a posição de B.

Passo 2

Princípio físico e fórmula básica (a “aula curta”):
  • A tensão normal de flexão (tensão normal causada por momento fletor, desprezando efeitos de esforço normal) numa seção é dada pela fórmula clássica de flexão:
\sigma=\frac{M\,y}{I},
onde:
  • \;M é o momento fletor na seção (em \mathrm{N\cdot m} ou \mathrm{kN\cdot m});
  • \;y é a distância do eixo neutro até o ponto onde se quer a tensão (em \mathrm{m}); se for a fibra superior ou inferior, é a distância até a fibra extrema; se for uma barra de aço, é a distância entre o eixo neutro e o centróide da barra;
  • \;I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro (em \mathrm{m}^4).
Explicação intuitiva: quanto maior o momento M, maior a “torção” da viga e maiores as tensões; quanto mais longe do eixo neutro (maior \,y), maior a tensão; quanto maior a rigidez geométrica da seção ( \,I), menor a tensão.

Passo 3

Momento máximo no vão — como obter M_{\max}:
  • Para saber \;M na “seção de maior momento positivo do vão” é preciso conhecer o esquema: tipo de apoio (p.ex. simplesmente apoiada), posição de P e comprimento \,L. Com essas informações procede-se assim:
    1. Calcular as reações nos apoios (equilíbrio estático).
    2. Montar o diagrama de esforço cortante e encontrar onde a cortante se anula (ponto de máximo momento) ou inspecionar o diagrama de momentos para achar o máximo.
    3. Calcular M nessa seção.
  • Fórmulas úteis (caso mais comum: viga simplesmente apoiada, carga distribuída uniforme q ao longo do vão e carga pontual P aplicada no meio do vão):
    • Momento máximo devido a q (somente q, viga simplesmente apoiada):
    M_q=\frac{q\,L^{2}}{8}.
    • Momento devido a uma carga concentrada P aplicada no centro do vão:
    M_P=\frac{P\,L}{4}.
    • Se P não estiver no centro, usar superposição / reações gerais; a expressão geral para o momento em uma seção a distância x do apoio depende da posição de P e do passo de integração/equilíbrio: por exemplo
    M(x)=R_A x - \frac{q x^{2}}{2} - P\cdot H(x-a)\,(x-a),
    em que R_A é reação no apoio esquerdo, a é a posição de P medida desde o apoio esquerdo e H é a função degrau. A cortante é V(x)=R_A - q x - P\cdot H(x-a); onde V(x)=0 geralmente ocorre o máximo de M.
Observação: sem \,L e sem a posição de P não se pode calcular numericamente M_{\max}.

Passo 4

Momento de inércia \,I da seção retangular (usamos os dados b e h fornecidos para calcular \,I):
  • A seção parece retangular com largura b e altura h. O momento de inércia de uma placa retangular em relação ao seu eixo neutro horizontal (centro geométrico) é:
I=\frac{b\,h^{3}}{12}.
Converter unidades para metros:
b=31{,}2\\ \mathrm{cm}=0{,}312\\ \mathrm{m},\qquad h=39\\ \mathrm{cm}=0{,}39\\ \mathrm{m}.
Calculemos I:
h^{3}=(0{,}39)^{3}=0{,}059319\\ \mathrm{m^{3}},
I=\frac{0{,}312\cdot 0{,}059319}{12}=1{,}54\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{4}}\quad(\text{aprox. }1{,}541\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{4}}).

Passo 5

Determinação de y (distância do eixo neutro até o ponto B) — necessidade de saber onde fica B:
  • O eixo neutro de uma seção retangular homogênea fica no centro geométrico, a uma distância \frac{h}{2} do topo/inferior:
\frac{h}{2}= \frac{0{,}39}{2}=0{,}195\\ \mathrm{m}.
  • Sem a figura não sabemos se o ponto B é:
    • a fibra extrema (topo ou fundo) — então y_B=0{,}195\\ \mathrm{m};
    • o centro de uma armadura localizada a uma distância de cobrimento e do topo (ou outra convenção). Se interpretarmos os dados como “cobrimento e=7{,}8\\ \mathrm{cm}” e “diâmetro da barra d=3{,}9\\ \mathrm{cm}” (interpretação plausível), a distância do topo ao centróide da barra seria aproximadamente
    y_{\text{barra}}=\left(e+\frac{d}{2}\right)=0{,}078+0{,}0195=0{,}0975\\ \mathrm{m}e, então, a distância do eixo neutro até esse centróide seria y_B=\frac{h}{2}-y_{\text{barra}}=0{,}195-0{,}0975=0{,}0975\\ \mathrm{m}.
  • Conclusão: sem a definição de B fornecida pelo esquema, as duas interpretações mais prováveis são:
    1. B na fibra extrema: y_B=0{,}195\\ \mathrm{m}.
    2. B no centróide de uma barra com cobrimento e e diâmetro d: y_B=0{,}0975\\ \mathrm{m}.
      (Se B for outro ponto, usar a distância correta do eixo neutro a partir da figura.)

Passo 6

Fórmula final e fator de conversão — deixar pronto para cálculo numérico assim que M_{\max} for conhecido:
  • A tensão será
\sigma_B=\frac{M_{\max}\,y_B}{I}.
  • Como já temos I numérico, podemos calcular um fator multiplicador que transforma M_{\max} (em \mathrm{kN\cdot m}) diretamente em tensão (em \mathrm{MPa}).
Cálculo dos fatores (usar I=1{,}541\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{4}}):
  1. Se B for fibra extrema ( y_B=0{,}195\\ \mathrm{m}):
\frac{y_B}{I}=\frac{0{,}195}{1{,}541\times10^{-3}}=126{,}5\quad\bigl(\mathrm{m^{-3}}\bigr).
Para M em \mathrm{kN\cdot m} (onde 1\\ \mathrm{kN\cdot m}=10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}) a tensão em \mathrm{MPa} (ou \mathrm{N/mm^{2}}) fica:
\sigma_B\\ (\mathrm{MPa})=0{,}1265\cdot M_{\max}\\ (\mathrm{kN\cdot m}).
  1. Se B for o centróide da barra com cobrimento e e d dados ( y_B=0{,}0975\\ \mathrm{m}):
\frac{y_B}{I}=\frac{0{,}0975}{1{,}541\times10^{-3}}=63{,}25,
\sigma_B\\ (\mathrm{MPa})=0{,}06325\cdot M_{\max}\\ (\mathrm{kN\cdot m}).
Observação: os fatores acima significam que, por exemplo, se M_{\max}=10\\ \mathrm{kN\cdot m}, então \sigma_B na fibra extrema seria 0{,}1265\times 10=1{,}265\\ \mathrm{MPa}.

Passo 7

Expressão explícita para o caso comum “viga simplesmente apoiada, P no meio do vão” (apenas se o esquema for esse — repetir: só válido se P estiver no centro e a viga for simplesmente apoiada):
  • Neste caso
M_{\max}=\frac{q\,L^{2}}{8}+\frac{P\,L}{4}.
Com os valores numéricos de q e P:
M_{\max}=\left( \frac{44\,L^{2}}{8} \right) + \left( \frac{51\,L}{4} \right) =5{,}5\,L^{2}+12{,}75\,L\quad(\mathrm{kN\cdot m}),
onde \,L está em metros.
Substituindo em \sigma_B=\dfrac{y_B}{I}\,M_{\max}, obtemos:
  1. Para fibra extrema ( y_B=0{,}195\\ \mathrm{m}):
\sigma_B(\mathrm{MPa})=0{,}1265\left(5{,}5\,L^{2}+12{,}75\,L\right) =0{,}6958\,L^{2}+1{,}613\,L\quad(\mathrm{MPa}).
  1. Para centróide da barra ( y_B=0{,}0975\\ \mathrm{m}):
\sigma_B(\mathrm{MPa})=0{,}06325\left(5{,}5\,L^{2}+12{,}75\,L\right) =0{,}3479\,L^{2}+0{,}8064\,L\quad(\mathrm{MPa}).
Essas expressões permitem calcular \sigma_B imediatamente quando você informar o comprimento do vão \,L no caso deste esquema específico.

Passo 8

Resumo do procedimento que você deve aplicar (passo-a-passo rápido quando tiver o esquema completo):
  1. Identificar tipo de viga e posições das cargas e comprimento \,L.
  2. Calcular reações e o diagrama de momento para encontrar M_{\max} (em \mathrm{kN\cdot m}).
  3. Determinar a posição de B na seção e calcular y_B (em \mathrm{m}).
  4. Calcular I=\dfrac{b h^{3}}{12} (já feito: I\approx 1{,}541\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{4}}).
  5. Calcular \sigma_B=\dfrac{M_{\max}\,y_B}{I}. Ou usar os fatores prontos:
    • fibra extrema: \sigma_B(\mathrm{MPa})=0{,}1265\,M_{\max}(\mathrm{kN\cdot m});
    • centróide da barra (com e=7{,}8\\ \mathrm{cm}, d=3{,}9\\ \mathrm{cm} na interpretação dada): \sigma_B(\mathrm{MPa})=0{,}06325\,M_{\max}(\mathrm{kN\cdot m}).

Passo 9

Se quiser eu já calculo o valor numérico para você — preciso apenas de:
  • confirmação do esquema (por exemplo: simplesmente apoiada? encastrada?), o comprimento do vão L e a posição de P ao longo do vão; e
  • a definição exata de onde está o ponto B na seção (fibra extrema superior/inferior ou centróide da armadura etc.).
Se você me disser esses dados eu aplico as fórmulas acima e entrego o cálculo passo a passo e o valor final da tensão, com unidades e interpretação (se tá em tração ou compressão) — e sem pular etapas.

Resposta

Não é possível fornecer um valor numérico da tensão normal no ponto B porque o esquema de carregamento (posição da carga P ao longo do vão e comprimento do vão L) e a posição exata do ponto B na seção não foram fornecidos.

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