Encontre os autovalores de A, de B e de A+B, sendo A=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 1 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right) e A+B=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 1 & 2\end{array}\right),
e conclua que os autovaloes de A+B (são/não são)
iguais aos autovalores de A mais os autovalores de B.
Passo 1
O enunciado pede explicitamente duas coisas:
Encontrar os autovalores de A, de B e de A+B.
Concluir se os autovalores de A+B são (ou não são) iguais aos autovalores de A somados aos autovalores de B.
O que significa “achar autovalores”?
Um número \lambda é autovalor de uma matriz M se existe vetor não-nulo v tal que M v=\lambda v. Para encontrar os autovalores calculamos o polinômio característico e resolvemos
\det(M-\lambda I)=0,
onde I é a matriz identidade da mesma ordem que M. Para matrizes 2\times2 há uma forma prática: se \operatorname{tr}(M) é a soma das diagonais (traço) e \det(M) é o determinante, então os autovalores \lambda satisfazem
com multiplicidade algébrica 2. Conclusão: os autovalores de A são \{1,1\}.
Comentário curto: ter multiplicidade algébrica 2 significa que 1 aparece duas vezes como raiz do polinômio característico; não estamos exigindo aqui verificar a dimensão do espaço próprio (geométrica), apenas os autovalores.]
Se tomarmos “autovalores de A mais os autovalores de B” interpretando como soma entrada a entrada dos autovalores correspondentes (isto é, 1+1=2 e 1+1=2), obteríamos \{2,2\}, que não coincide com \{3,1\}. Logo, no exemplo dado os autovalores de A+B não são os autovalores de A somados aos autovalores de B.
Uma razão curta do porquê: em geral não vale que \operatorname{spec}(A+B)=\operatorname{spec}(A)+\operatorname{spec}(B). Uma situação em que a soma de autovalores corresponde à soma das matrizes ocorre quando A e B são simultaneamente diagonalizáveis (por exemplo, quando comutam e são diagonalizáveis no mesmo conjunto de autovetores); nesse caso cada autovetor comum tem autovalor da soma igual à soma dos autovalores correspondentes. Aqui, A e B não comutam: calcule
e vemos AB\neq BA. Por isso não podemos esperar que os autovalores se somem daquele jeito; o exemplo mostra exatamente isso.]
Resposta
Autovalores de A: \{1,1\}
Autovalores de B: \{1,1\}
Autovalores de A+B: \{3,1\}
Conclusão: os autovalores de A+B não são iguais aos autovalores de A mais os autovalores de B.