Encontre os autovalores de A, de B e de A+B, sendo
A=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 1 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right) e A+B=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 1 & 2\end{array}\right),
e conclua que os autovaloes de A+B (são/não são)
iguais aos autovalores de A mais os autovalores de B.

Passo 1

O enunciado pede explicitamente duas coisas:
  • Encontrar os autovalores de A, de B e de A+B.
  • Concluir se os autovalores de A+B são (ou não são) iguais aos autovalores de A somados aos autovalores de B.
As matrizes fornecidas são:
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},\qquad A+B=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 2

O que significa “achar autovalores”?
Um número \lambda é autovalor de uma matriz M se existe vetor não-nulo v tal que M v=\lambda v. Para encontrar os autovalores calculamos o polinômio característico e resolvemos
\det(M-\lambda I)=0,
onde I é a matriz identidade da mesma ordem que M. Para matrizes 2\times2 há uma forma prática: se \operatorname{tr}(M) é a soma das diagonais (traço) e \det(M) é o determinante, então os autovalores \lambda satisfazem
\lambda^2-\operatorname{tr}(M)\,\lambda+\det(M)=0,
e a solução é
\lambda=\frac{\operatorname{tr}(M)\pm\sqrt{\operatorname{tr}(M)^2-4\det(M)}}{2}.
Aqui vou usar diretamente o método do determinante \det(M-\lambda I), explicando cada cálculo.

Passo 3

Autovalores de A.
Escrevo A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda & 0\\[4pt]1 & 1-\lambda\end{pmatrix}.
Calculo o determinante:
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(1-\lambda)-0\cdot 1=(1-\lambda)^2.
Impondo \det(A-\lambda I)=0:
(1-\lambda)^2=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda=1,
com multiplicidade algébrica 2. Conclusão: os autovalores de A são \{1,1\}.
Comentário curto: ter multiplicidade algébrica 2 significa que 1 aparece duas vezes como raiz do polinômio característico; não estamos exigindo aqui verificar a dimensão do espaço próprio (geométrica), apenas os autovalores.]

Passo 4

Autovalores de B.
Escrevo B-\lambda I:
B-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda & 1\\[4pt]0 & 1-\lambda\end{pmatrix}.
Calculo o determinante:
\det(B-\lambda I)=(1-\lambda)(1-\lambda)-0\cdot 1=(1-\lambda)^2.
Impondo \det(B-\lambda I)=0:
(1-\lambda)^2=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda=1,
com multiplicidade algébrica 2. Conclusão: os autovalores de B são \{1,1\}.]

Passo 5

Autovalores de A+B.
Escrevo (A+B)-\lambda I:
(A+B)-\lambda I=\begin{pmatrix}2-\lambda & 1\\[4pt]1 & 2-\lambda\end{pmatrix}.
Calculo o determinante:
\det((A+B)-\lambda I)=(2-\lambda)(2-\lambda)-1\cdot 1=(2-\lambda)^2-1.
Expando e reorganizo:
(2-\lambda)^2-1=\lambda^2-4\lambda+3.
Resolvo \lambda^2-4\lambda+3=0. As raízes são
\lambda=\frac{4\pm\sqrt{16-12}}{2}=\frac{4\pm 2}{2},
portanto
\lambda=3\quad\text{ou}\quad \lambda=1.
Conclusão: os autovalores de A+B são \{3,1\}.]

Passo 6

Comparação e conclusão sobre a afirmação pedida.
Os autovalores obtidos:
  • Autovalores de A: \{1,1\}.
  • Autovalores de B: \{1,1\}.
  • Autovalores de A+B: \{3,1\}.
Se tomarmos “autovalores de A mais os autovalores de B” interpretando como soma entrada a entrada dos autovalores correspondentes (isto é, 1+1=2 e 1+1=2), obteríamos \{2,2\}, que não coincide com \{3,1\}. Logo, no exemplo dado os autovalores de A+B não são os autovalores de A somados aos autovalores de B.
Uma razão curta do porquê: em geral não vale que \operatorname{spec}(A+B)=\operatorname{spec}(A)+\operatorname{spec}(B). Uma situação em que a soma de autovalores corresponde à soma das matrizes ocorre quando A e B são simultaneamente diagonalizáveis (por exemplo, quando comutam e são diagonalizáveis no mesmo conjunto de autovetores); nesse caso cada autovetor comum tem autovalor da soma igual à soma dos autovalores correspondentes. Aqui, A e B não comutam: calcule
AB=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix},
BA=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix},
e vemos AB\neq BA. Por isso não podemos esperar que os autovalores se somem daquele jeito; o exemplo mostra exatamente isso.]

Resposta

Autovalores de A: \{1,1\}
Autovalores de B: \{1,1\}
Autovalores de A+B: \{3,1\}
Conclusão: os autovalores de A+B não são iguais aos autovalores de A mais os autovalores de B.

Exercícios relacionados