Encontre o valor k para que a f(x, y) seja uma legítma f.d.p. conjunta de X e Y.
f(x, y)=k x y IX(0,1) IY(0,2)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Temos uma função de densidade conjunta
f(x,y) = k,x,y;IX(0,1);IY(0,2),
onde os indicadores e dizem que só varia de 0 a 1 e só varia de 0 a 2. O assunto aqui é “distribuição de probabilidade contínua”, e o que precisamos lembrar é: para uma densidade conjunta ser legítima, a integral dupla sobre toda a região tem de dar 1.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a condição matemática de que a densidade some 1:
integralx=0^1 integraly=0^2 f(x,y),dy,dx = 1
Substituindo integral0^1 integral0^2 k,x,y ,dy,dx = 1 :

Passo 3

Agora a gente resolve a integral interna (em integral0^2 y,dy = y^22vert0^2 = 2^22 - 0 = 2 ) primeiro. Lembra que
integral0^2 k,x,y,dy = k,x ,integral0^2 y,dy = k,x cdot 2 = 2k,x
Então a parte interna vira

Passo 4

Com isso, voltamos para a integral em integral0^1 2k,x ,dx = 2k integral0^1 x,dx :
integral0^1 x,dx = x^22vert0^1 = 12
E sabemos que
2k cdot 12 = k
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Passo 5

A condição de normalização diz que essa integral tem de ser 1. Então a gente coloca
k = 1

Resposta

O valor de boxed1 que torna uma f.d.p. conjunta legítima é

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