Um fabricante de espectrofotômetro de infra vermelho garante que uma caixa de suas peças conterá, no máximo, 2 defeituosas. Se a caixa contém 18 espectrofotômetros, e a experiência tem demonstrado que esse processo de fabricação produz 5 % de espectrofotômetros defeituosos, qual a probabilidade de que uma caixa satisfaça a garantia? Resp: 0.9419 .

Passo 1

Beleza, é o seguinte: a questão fala de uma caixa com 18 espectrofotômetros, cada um tem 5 % de chance de ser defeituoso e o fabricante garante “no máximo 2 defeituosos” por caixa. Queremos a probabilidade de ter até 2 defeituosos. Esse é um problema de Distribuição Binomial, onde usamos combinações (coeficiente binomial) e probabilidade de sucesso/fracasso.
O que vamos precisar:
  • Entender a Distribuição Binomial (n, p).
  • Saber calcular combinação binomnk.
  • Somar as probabilidades para k=0,1,2.

Passo 2

Distribuição Binomial: se X é o número de defeituosos em n=18 peças e cada peça tem p=0.05 de ser defeituosa, então
P(X=k)=binom18k,p^k,(1-p)^18-k
Aqui (1-p)=0.95 é a probabilidade de cada peça dar certo. Vamos aplicar essa fórmula para k=0,1,2.

Passo 3

Calculando P(X=0) (nenhum defeituoso):
P(X=0)=binom180(0.05)^0(0.95)^18 =1cdot1cdot(0.95)^18
Para ter ideia, (0.95)^18approx0.95^20times0.95^-2approx0.3585times1.105approx0.3965.

Passo 4

Calculando P(X=1) (exatamente 1 defeituoso):
P(X=1)=binom181(0.05)^1(0.95)^17 =18cdot0.05cdot(0.95)^17
Note que (0.95)^17=(0.95)^18/0.95approx0.3965/0.95approx0.4174.
Então P(X=1)approx18cdot0.05cdot0.4174=0.9cdot0.4174approx0.3757.

Passo 5

Calculando P(X=2) (exatamente 2 defeituosos):
P(X=2)=binom182(0.05)^2(0.95)^16
Aqui binom182=18cdot172=153, (0.05)^2=0.0025 e (0.95)^16=(0.95)^17/0.95approx0.4174/0.95approx0.4394.
Então
P(X=2)approx153cdot0.0025cdot0.4394 =0.3825cdot0.4394approx0.1681

Passo 6

Agora somamos as três probabilidades para ter “até 2 defeituosos”:
P(X<=2)=P(0)+P(1)+P(2)approx0.3965+0.3757+0.1681approx0.9403
Com cálculos mais precisos na calculadora costuma dar cerca de 0.9419.

Resposta

A probabilidade de a caixa satisfazer a garantia é aproximadamente boxed0.9419.

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