Se X sim Bin(n ; p). Em que mu=12 e sigma^2=3. Calcule: (a) nep; (b) E(Z) e Var(Z), em que Z=X-12raiz3.
Resp:(a) n=16 ; p=0.75 (b) E(Z)=0 ; Var(Z)=1.

Passo 1

Beleza, vamos por partes: o enunciado diz que Z = X - 12raiz3, segue uma distribuição binomial e que a média vale 12, enquanto a variância vale 3. A gente precisa achar e (parte a) e depois, definindo
calcular e (parte b).
Pra isso vamos usar as fórmulas básicas de média e variância da binomial e um pouquinho de álgebra.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação da média:
mu = np = 12
Isso significa que
n = 12p

Passo 3

Agora a equação da variância:
sigma^2 = np(1-p) = 3
Substituindo 12p,cdot p,(1-p) = 12(1-p) = 3 dentro disso:

Passo 4

Resolvendo 1 - p = 312 = tfrac14 Longrightarrow p = 1 - tfrac14 = tfrac34 :

Passo 5

Com n = 123/4 = 12 times 43 = 16 , voltamos em :
Pronto, parte (a) resolvida: e .

Passo 6

Agora a parte (b). Lembra que E(Z) = E(X) - 12raiz3 = 12 - 12raiz3 = 0 .
  • Para a esperança: Var(Z) = Var!l(X - 12raiz3r) = 13,Var(X) = 13 times 3 = 1
  • Para a variância (usamos ):

Resposta

(a) ,
(b) , .

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