Considerando que
para
, determine:
Passo 1
O enunciado dá a função
com sua expansão em série de potências
para
. O conteúdo aqui é derivação de séries de potências e derivada de log. Vamos usar a regra de derivação de
e também a derivação termo a termo dentro do raio de convergência.
Passo 2
Para calcular direto, lembramos que a derivada de
é dada pela regra de derivação de logaritmos compostos. Assim,
Logo, por essa via temos
Passo 3
Agora, para ver como isso aparece na série, note que a expansão dada tem raio de convergência 1, ou seja, vale estritamente para
. Dentro desse intervalo, podemos diferenciar termo a termo. Aplicando derivação termo a termo na série original, a derivada de
é
. Portanto fica:
Passo 4
Reconhecemos que
é uma série geométrica de primeiro termo 1 e razão
. Logo,
Isso confirma que