Considerando que f(x)=ln (1+x)=sumn=0^infty (-1)^n x^n+1n+1 para -1, determine:
f^prime(x)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=ln(1+x) com sua expansão em série de potências f(x)=sumn=0^infty(-1)^n x^n+1n+1 para -1. O conteúdo aqui é derivação de séries de potências e derivada de log. Vamos usar a regra de derivação de ln(1+x) e também a derivação termo a termo dentro do raio de convergência.

Passo 2

Para calcular direto, lembramos que a derivada de ln(1+x) é dada pela regra de derivação de logaritmos compostos. Assim,
ddxln(1+x)=11+x
Logo, por essa via temos f'(x)=11+x.

Passo 3

Agora, para ver como isso aparece na série, note que a expansão dada tem raio de convergência 1, ou seja, vale estritamente para -1. Dentro desse intervalo, podemos diferenciar termo a termo. Aplicando derivação termo a termo na série original, a derivada de tfracx^n+1n+1 é x^n. Portanto fica:
f'(x)=sumn=0^infty(-1)^n x^n

Passo 4

Reconhecemos que sumn=0^infty(-1)^n x^n é uma série geométrica de primeiro termo 1 e razão -x. Logo,
sumn=0^infty(-1)^n x^n=11-(-x)=11+x
Isso confirma que f'(x)=11+x para -1, em total acordo com a derivada direta.

Resposta

f'(x)=tfrac11+x

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