Mostre como encontrar a derivada f^prime(x) das funções abaixo
f(x)=x+1e^x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função f(x)=x+1e^x. O conteúdo aqui é derivada de funções, e vamos precisar usar ou a regra do quociente ou então reescrever como produto e usar a regra do produto.

Passo 2

Primeiro reescrevemos a função como produto. Observando que e^-x=1/e^x, temos:
f(x)=(x+1)e^-x

Passo 3

Agora aplicamos a regra do produto. Se definirmos u(x)=x+1 e v(x)=e^-x, então:
u'(x)=1, v'(x)=-e^-x
A regra do produto diz que:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

Passo 4

Substituindo os valores de u, u', v e v' temos:
f'(x)=1cdot e^-x+(x+1)cdot(-e^-x)=e^-x-(x+1)e^-x
Agora basta fatorar e^-x:
f'(x)=e^-xl(1-(x+1)r)=e^-x( -x )=-x,e^-x

Resposta

-x e^{-x}

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