Encontre a série de Fourier da função
, de período
, e faça uma gráfico ou esboço das três primeiras somas parciais.
Passo 1
O exercício pede a série de Fourier de f(x)=x² no intervalo (-1,1) com período 2. Como f é par (x²=f(-x)), só teremos termo constante e termos em cosseno. Para resolver precisamos calcular a₀ e aₙ por meio das integrais definidas na fórmula geral da série de Fourier em L=1.
Passo 2
Calculamos primeiro o coeficiente a₀: a₀= (1/L) ∫_{-L}^{L} x² dx com L=1. Como a função é par, ∫_{-1}^{1} x² dx =2∫_{0}^{1} x² dx =2·(1/3)=2/3. Logo a₀=2/3 e o termo constante da série é a₀/2=1/3.
Passo 3
Agora o coeficiente aₙ (n≥1) vem de aₙ=(1/L)∫_{-L}^{L} x² cos(nπx/L) dx. Igual aₙ=∫_{-1}^{1} x² cos(nπx) dx. Como o integrando é par, fazemos 2∫_{0}^{1} x² cos(nπx) dx. Por integração por partes e usando sin(nπ)=0, cos(nπ)=(-1)ⁿ, obtemos aₙ=4(-1)ⁿ/(n²π²).
Passo 4
A série de Fourier fica então em todo x:
Passo 5
Para as três primeiras somas parciais definimos: S₁(x)=1/3 + 4(-1)¹/(1²π²)cos(πx), S₂(x)=S₁(x)+4(-1)²/(2²π²)cos(2πx), S₃(x)=S₂(x)+4(-1)³/(3²π²)cos(3πx). Esboçando no intervalo [-1,1], vemos S₁ sendo um único arco de cosseno ajustado em 1/3, S₂ aproximando melhor a curva em x² com dois arcos e S₃ já aproximando bem o formato de parábola entre -1 e 1.
Nos esboços, as somas parciais oscilam menos à medida que adicionamos mais termos, aproximando a forma de x² e com simetria par.
Nos esboços, as somas parciais oscilam menos à medida que adicionamos mais termos, aproximando a forma de x² e com simetria par.