Considerando que que f(x)=tg^-1 x=sumn=0^infty (-1)^n x^2 n+12 n+1 para
-1 <= x <= 1, determine:
f^prime(x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=arctan(x) dada pela série de potências sumn=0^infty (-1)^n x^2n+12n+1. O conteúdo aqui é derivar série de potências termo a termo e depois identificar a soma como uma série geométrica.

Passo 2

Como a série de f(x) converge uniformemente em todo intervalo fechado contido em (-1,1), podemos derivar termo a termo. Derivando cada termo (-1)^n x^2n+12n+1 em relação a x obtemos
f'(x)=sumn=0^infty (-1)^n cdot x^2n

Passo 3

Reconhecemos agora uma série geométrica com termo geral (-1)^n x^2n) = ( -x^2)^n. A soma dessa série é
sumn=0^infty(-x^2)^n=11-(-x^2)=11+x^2

Resposta

f'(x)=11+x^2

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