Exercício 11: Seja yk uma sequiência e definimos a sequiência por . Prove que se é convergente, então converge ao mesmo limite. É possível que seja convergente mas que não o seja? Exiba um exemplo ou prove que não é possível.

Passo 1

O enunciado define uma sequência (xk) e define yk = xk + xk+12. A parte (a) pede para provar que, se (xk) converge para um limite L, então (yk) também converge para L. A parte (b) pergunta se é possível ter (yk) convergente quando (xk) não converge, e pede um exemplo ou prova em contrário.

Passo 2

Para provar que yk converge para o mesmo limite L de xk, usamos a definição de limite de sequência e a propriedade de soma e média. Seja varepsilon>0. Como xkto L, existe N tal que, para todo k>N, temos |xk - L| e também |xk+1-L|.

Passo 3

Para k>N calculamos
|yk - L| =|xk + xk+12 - L| =|(xk - L) + (xk+1 - L)2| <= |xk - L| + |xk+1 - L|2 < varepsilon + varepsilon2 = varepsilon
Isso mostra diretamente, pela definição de limite, que ykto L.

Passo 4

Para a parte (b), basta dar um exemplo de (xk) que não convirja mas cuja média consecutiva convirja. Tomemos
xk = (-1)^k
Então (xk) oscila entre 1 e -1 e não converge. Mas
yk = (-1)^k + (-1)^k+12 = 0
para todo k, de modo que (yk) é identicamente zero e converge (para 0).

Resposta

Se xkto L então ykto L. Além disso, é possível ter yk convergente mesmo sem xk convergir: por exemplo, com xk=(-1)^k temos yk=0 para todo k, logo yk converge (a 0) enquanto xk não converge.

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