Exercício 11: Seja uma sequiência e definimos a sequiência por . Prove que se é convergente, então converge ao mesmo limite. É possível que seja convergente mas que não o seja? Exiba um exemplo ou prove que não é possível.
Passo 1
O enunciado define uma sequência e define . A parte (a) pede para provar que, se converge para um limite , então também converge para . A parte (b) pergunta se é possível ter convergente quando não converge, e pede um exemplo ou prova em contrário.
Passo 2
Para provar que converge para o mesmo limite de , usamos a definição de limite de sequência e a propriedade de soma e média. Seja . Como , existe tal que, para todo , temos e também .
Passo 3
Para calculamos
Isso mostra diretamente, pela definição de limite, que ykto L.
Passo 4
Para a parte (b), basta dar um exemplo de (xk) que não convirja mas cuja média consecutiva convirja. Tomemos
xk = (-1)^k
Então (xk) oscila entre 1 e -1 e não converge. Mas
yk = (-1)^k + (-1)^k+12 = 0
para todo k, de modo que (yk) é identicamente zero e converge (para 0).
Resposta
Se xkto L então ykto L. Além disso, é possível ter yk convergente mesmo sem xk convergir: por exemplo, com xk=(-1)^k temos yk=0 para todo k, logo yk converge (a 0) enquanto xk não converge.