Mostre como encontrar a derivada f^prime(x) das funções abaixo
f(x)=e^xx+2

Passo 1

Neste exercício, vamos encontrar a derivada de f(x)=e^x/(x+2). O conteúdo envolvido é a derivação de quociente de funções e a derivada da função exponencial. Para resolver, precisaremos usar a regra do quociente e a propriedade de que a derivada de e^x é e^x.

Passo 2

Definimos as funções auxiliares
u(x)=e^x
v(x)=x+2
A regra do quociente diz que
gl(uvgr)'=u',v - u,v'v^2

Passo 3

Agora, calculamos as derivadas de u e v:
u’(x)=e^x
v’(x)=1

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente substituindo u, v, u’ e v’:
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 =e^x,(x+2)-e^xcdot1(x+2)^2

Passo 5

Por fim, fatoramos e^x no numerador e simplificamos:
f'(x)=e^xl((x+2)-1r)(x+2)^2 =e^x(x+1)(x+2)^2

Resposta

f’(x)=\frac{ex(x+1)}{(x+2)2}

Exercícios relacionados