Considerando que que f(x)=tg^-1 x=sumn=0^infty (-1)^n x^2 n+12 n+1 para
-1 <= x <= 1, determine:
integral f(x) d x

Passo 1

Aqui a gente tem que achar a primitiva de f(x)= g^-1x=arctan x expressa pela série sumn=0^infty(-1)^n x^2n+12n+1 no intervalo [-1,1]. O conteúdo envolve integrar uma série de potências termo a termo e depois usar integração por partes para obter uma forma fechada.

Passo 2

Como a série converge uniformemente em [-1,1], dá para intercalar soma e integral. Integramos termo a termo:
integral f(x),dx = integral sumn=0^infty (-1)^n x^2n+12n+1,dx = sumn=0^infty (-1)^n2n+1 integral x^2n+1,dx = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+2(2n+1)(2n+2) + C

Passo 3

Para encontrar uma expressão fechada, aplicamos integração por partes em integral arctan x,dx. Tomando u=arctan x e dv=dx, temos du=11+x^2dx e v=x. Assim:
integral arctan x,dx = xarctan x - integral x1+x^2,dx = xarctan x - tfrac12ln(1+x^2) + C
Essa primitiva coincide com a soma da série acima.

Resposta

integral f(x),dx = xarctan x - tfrac12ln(1+x^2) + C.

Exercícios relacionados