Exercício 12: Suponha que
e
são duas seqüências tais que
para todo
. Prove que, se ambas são convergentes, então
. É possível que, na desigualdade acima, se verifique a igualdade? Exiba exemplos.
Passo 1
Nesse exercício, temos duas sequências
e
tais que
para todo
. O conteúdo aqui é limite de sequências e vamos usar a definição de convergência e a propriedade de preservação de desigualdades pelo limite.
Passo 2
Denotemos
e
. Vamos provar por contradição que
. Suponha que
. Então definimos
Passo 3
Pela convergência de
, existe
tal que para todo
vale
Passo 4
Pela convergência de
, existe
tal que para todo
vale
Passo 5
Tomando
, para todo
temos simultaneamente
Passo 6
Como
segue que para
o que contradiz
. Logo a suposição
é falsa, e devemos ter
.
Passo 7
Sim, é possível ocorrer igualdade. Por exemplo, tome
e
. Temos
e ambas convergem a 0, então
Passo 8
Outro exemplo:
e
. Novamente
e