Exercício 12: Suponha que xk e k in N são duas seqüências tais que lim xk <= lim yk para todo . Prove que, se ambas são convergentes, então . É possível que, na desigualdade acima, se verifique a igualdade? Exiba exemplos.

Passo 1

Nesse exercício, temos duas sequências l(xkr) e l(ykr) tais que xk para todo kinN. O conteúdo aqui é limite de sequências e vamos usar a definição de convergência e a propriedade de preservação de desigualdades pelo limite.

Passo 2

Denotemos Lx=limktoinftyxk e Ly=limktoinftyyk. Vamos provar por contradição que Lx<= Ly. Suponha que Lx>Ly. Então definimos
nabla=Lx-Ly2>0

Passo 3

Pela convergência de xk, existe N1 tal que para todo k>= N1 vale
|xk-Lx|Lx-nabla

Passo 4

Pela convergência de yk, existe N2 tal que para todo k>= N2 vale
|yk-Ly|

Passo 5

Tomando N=max(N1,N2), para todo k>= N temos simultaneamente
xk>Lx-nablae yk

Passo 6

Como
Lx-nabla=Lx-Lx-Ly2=Lx+Ly2e Ly+nabla=Lx+Ly2,
segue que para k>= N
xk>Lx+Ly2= yk,
o que contradiz xk. Logo a suposição Lx>Ly é falsa, e devemos ter Lx<= Ly.

Passo 7

Sim, é possível ocorrer igualdade. Por exemplo, tome xk=1/k e yk=2/k. Temos xk e ambas convergem a 0, então
lim xk=lim yk=0

Passo 8

Outro exemplo: xk=k/(k+1) e yk=1. Novamente xk e
lim xk=lim yk=1

Resposta

lim xk<=lim yk, sendo possível igualdade, por exemplo em xk=1/k e yk=2/k, onde ambos convergem a 0.

Exercícios relacionados