Encontre a série de Fourier da função
, de período
, e faça uma gráfico ou esboço das três primeiras somas parciais.
Passo 1
O exercício pede a série de Fourier de período 2 para f(x)=|x| em (–1,1) e depois quer esboços das três primeiras somas parciais. O conteúdo envolvido é desenvolvimento em série de Fourier de função par, usando as fórmulas de coeficientes a₀, aₙ e bₙ.
Passo 2
Como f(x)=|x| é uma função par, todos os bₙ são nulos. Vamos usar as fórmulas padrão para período 2L com L=1:
Passo 3
Calculemos a₀:
Logo a₀/2=1/2.
Passo 4
Agora aₙ para n≥1. Como f é par,
Fazendo integração por partes (u=x, dv=cos(nπx)dx) obtém-se
Então a_n=0 para n par, e a_n=-4/(n²π²) para n ímpar.
Passo 5
Reescrevendo em termos de k=0,1,2,…, os índices ímpares são n=2k+1. A série fica
Passo 6
As três primeiras somas parciais S_N são obtidas cortando a série em N:
S₁ inclui só n=1:
S₁ inclui só n=1:
S₂ (até n=2) é igual a S₁ porque a₂=0.
S₃ inclui n=1 e n=3:
Passo 7
Esboço qualitativo das somas parciais no intervalo [–1,1]:
Para S₁(x)=½−(4/π²)cos(πx) temos um único “arco” de cosseno invertido.
y /^\
/ \
/ \
----±------±— x
-1 1
Para S₃ adiciona-se uma ondulação extra (cos(3πx)/9), aproximando-se do V de |x|:
y /\ /\
/ / \
----±------±— x
-1 1
S₂ coincide com S₁.
Para S₁(x)=½−(4/π²)cos(πx) temos um único “arco” de cosseno invertido.
y /^\
/ \
/ \
----±------±— x
-1 1
Para S₃ adiciona-se uma ondulação extra (cos(3πx)/9), aproximando-se do V de |x|:
y /\ /\
/ / \
----±------±— x
-1 1
S₂ coincide com S₁.