Encontre a série de Fourier da função f(x), de período p=2 L, e faça uma gráfico ou esboço das três primeiras somas parciais.
f(x)=|x|(-1

Passo 1

O exercício pede a série de Fourier de período 2 para f(x)=|x| em (–1,1) e depois quer esboços das três primeiras somas parciais. O conteúdo envolvido é desenvolvimento em série de Fourier de função par, usando as fórmulas de coeficientes a₀, aₙ e bₙ.

Passo 2

Como f(x)=|x| é uma função par, todos os bₙ são nulos. Vamos usar as fórmulas padrão para período 2L com L=1:
a0=1Lintegral-L^L f(x),dx, an=1Lintegral-L^L f(x)cos(npi x/L),dx, bn=0

Passo 3

Calculemos a₀:
a0=integral-1^1|x|,dx=2integral0^1 x,dx=2cdot12=1
Logo a₀/2=1/2.

Passo 4

Agora aₙ para n≥1. Como f é par,
an=2integral0^1 xcos(npi x),dx
Fazendo integração por partes (u=x, dv=cos(nπx)dx) obtém-se
an=-2npiintegral0^1sin(npi x),dx=-2npicdot1-(-1)^nnpi=-2(1-(-1)^n)n^2pi^2
Então a_n=0 para n par, e a_n=-4/(n²π²) para n ímpar.

Passo 5

Reescrevendo em termos de k=0,1,2,…, os índices ímpares são n=2k+1. A série fica
f(x)=12-4pi^2sumk=0^inftycosl((2k+1)pi xr)(2k+1)^2

Passo 6

As três primeiras somas parciais S_N são obtidas cortando a série em N:
S₁ inclui só n=1:
S1(x)=12-4pi^2cos(pi x)
S₂ (até n=2) é igual a S₁ porque a₂=0.
S₃ inclui n=1 e n=3:
S3(x)=12-4pi^2l(cos(pi x)+13^2cos(3pi x)r)

Passo 7

Esboço qualitativo das somas parciais no intervalo [–1,1]:
Para S₁(x)=½−(4/π²)cos(πx) temos um único “arco” de cosseno invertido.
y /^\
/ \
/ \
----±------±— x
-1 1
Para S₃ adiciona-se uma ondulação extra (cos(3πx)/9), aproximando-se do V de |x|:
y /\ /\
/ / \
----±------±— x
-1 1
S₂ coincide com S₁.

Passo 8

Resposta

f(x)=12-4pi^2sumk=0^inftycosl((2k+1)pi xr)(2k+1)^2

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