Considerando f(x, y, x)=(x^2+y^2+z^2)^3 / 2, determine:
(a) nabla f no ponto (3,2,1)
(b) o módulo do nabla f no ponto (3,2,1)
(c) a direção (versor) do nabla f no ponto (3,2,1)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=l(x^2+y^2+z^2r)^3/2
e pede (a) o gradiente nabla f em (3,2,1), (b) o módulo de nabla f nesse ponto e (c) o versor na direção de nabla f em (3,2,1). Vamos usar derivadas parciais e depois avaliar em (3,2,1).

Passo 2

Para achar nabla f aplicamos a regra da cadeia a
f(x,y,z)=u^3/2, u=x^2+y^2+z^2
Como tfracdduu^3/2=tfrac32u^1/2, e partial u/partial x=2x (e análogos para y,z), temos
partial fpartial x =32u^1/2cdot2x =3x,u^1/2,
partial fpartial y =3y,u^1/2,
partial fpartial z =3z,u^1/2
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nabla f(x,y,z) =l(3x,(x^2+y^2+z^2)^1/2,; 3y,(x^2+y^2+z^2)^1/2,; 3z,(x^2+y^2+z^2)^1/2r)

Passo 3

Avaliando em (3,2,1) temos
u(3,2,1)=3^2+2^2+1^2=14,
nabla f(3,2,1) =l(3cdot3raiz14,,3cdot2raiz14,,3cdot1raiz14r) =(9raiz14,,6raiz14,,3raiz14)

Passo 4

O módulo de nabla f(3,2,1) é
|nabla f(3,2,1)| =raiz(9raiz14)^2+(6raiz14)^2+(3raiz14)^2 =raiz(81+36+9),14 =raiz126cdot14 =raiz1764 =42

Passo 5

O versor na direção de nabla f(3,2,1) é
nabla f(3,2,1)|nabla f(3,2,1)| =(9raiz14,,6raiz14,,3raiz14)42 =(3,2,1)raiz14

Resposta

(a) nabla f(3,2,1)=(9raiz14,,6raiz14,,3raiz14)
(b) |nabla f(3,2,1)|=42
(c) versor =(3,2,1)raiz14

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