Considerando U(x, y, z)=x^2 y z^3 e G(x, y, z)=x z i-y^2 i+2 x^2 y k, determine:
nabla times G

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
vec G(x,y,z) = (x z - y^2),hat i + 0,hat j + (2x^2y),hat k
e pede o rotacional nablatimesvec G. Vamos precisar usar derivadas parciais e a fórmula do determinante para o rotacional em coordenadas cartesianas.

Passo 2

A definição de rotacional em coordenadas cartesianas é
nabla times G = i & j & k dfracpartialpartial x & dfracpartialpartial y & dfracpartialpartial z Gx & Gy & Gz ,
onde Gx = xz - y^2, Gy = 0 e Gz = 2x^2y.

Passo 3

Componente na direção hat i:
(nabla times vec G)x = partial Gzpartial y - partial Gypartial z = partialpartial y(2x^2y) - partialpartial z(0) = 2x^2 - 0 = 2x^2

Passo 4

Componente na direção hat j:
(nabla times vec G)y = partial Gxpartial z - partial Gzpartial x = partialpartial z(xz - y^2) - partialpartial x(2x^2y) = x - 4xy = x(1 - 4y)

Passo 5

Componente na direção hat k:
(nabla times vec G)z = partial Gypartial x - partial Gxpartial y = partialpartial x(0) - partialpartial y(xz - y^2) = 0 - (-2y) = 2y

Resposta

nabla times vec G = 2x^2,hat i + (x - 4xy),hat j + 2y,hat k

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