Considere o vetor F=v times G. Se v=i e F=2 k-4 j, v=j e F=4 i-k, v=k e F=j-2 i, determine o vetor G.

Passo 1

O enunciado diz que em cada caso
vec F ;=;vec vtimesvec G
onde vec v é, alternadamente, hat i, hat j e hat k, e os vetores vec F correspondentes são dados. Nosso objetivo é encontrar as componentes de vec G=(Gx,Gy,Gz). Para isso usamos a definição do produto vetorial em componentes.

Passo 2

Para vec v=hat i temos
hat itimesvec G =hat itimesl(Gxhat i+Gyhat j+Gzhat kr) =Gy,(hat itimeshat j)+Gz,(hat itimeshat k) =Gy,hat k -Gz,hat j
Como foi dado vec F=2hat k-4hat j, igualando componentes obtemos
-Gz=-4Rightarrow Gz=4, Gy=2

Passo 3

Para vec v=hat j temos
hat jtimesvec G =hat jtimes(Gxhat i+Gyhat j+Gzhat k) =Gx,(hat jtimeshat i)+Gz,(hat jtimeshat k) =-Gx,hat k+Gz,hat i
Como vec F=4hat i-hat k, igualamos
Gz=4 (confirma)e -Gx=-1;Rightarrow;Gx=1

Passo 4

Para vec v=hat k temos
hat ktimesvec G =hat ktimes(Gxhat i+Gyhat j+Gzhat k) =Gx,(hat ktimeshat i)+Gy,(hat ktimeshat j) =Gx,hat j -Gy,hat i
Como vec F=-2hat i+hat j, igualamos
-Gy=-2;Rightarrow;Gy=2, Gx=1 (confirma)

Resposta

vec G = 1,hat i + 2,hat j + 4,hat k.

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