Dado o vetor u=8 i-3 j+2 k, determine:
(a) o ângulo alpha entre o vetor u e o eixo x;
(b) o ângulo beta entre o vetor u e o eixo y;
(c) o ângulo gamma entre o vetor u e o eixo z;
(d) Verifique que cos ^2(alpha)+cos ^2(beta)+cos ^2(gamma)=1.

Passo 1

O enunciado fornece o vetor u=8i-3j+2k e pede os ângulos entre u e cada eixo cartesiano. Vamos usar o produto interno e a definição de cosseno do ângulo entre vetores:
cos(theta)=ucdot v|u||v|,
onde, para cada eixo, v é o vetor unitário correspondente ( i,j ou k) de norma 1.

Passo 2

Calculamos primeiro o módulo de u:
|u| = raiz8^2 + (-3)^2 + 2^2 = raiz64 + 9 + 4 = raiz77

Passo 3

Para o eixo x, o vetor unitário é i. Logo
cos(alpha) = ucdot i|u|cdot 1 = 8raiz77,
e
alpha = arccos!l(8raiz77r)

Passo 4

Para o eixo y, o vetor unitário é j. Logo
cos(beta) = ucdot j|u|cdot 1 = -3raiz77,
e
beta = arccos!l(-3raiz77r)

Passo 5

Para o eixo z, o vetor unitário é k. Logo
cos(gamma) = ucdot k|u|cdot 1 = 2raiz77,
e
gamma = arccos!l(2raiz77r)

Passo 6

Para verificar a identidade, somamos os quadrados dos cossenos:
cos^2(alpha)+cos^2(beta)+cos^2(gamma) = 8^2 + (-3)^2 + 2^277 = 64 + 9 + 477 = 1

Resposta

(a) alpha = arccos!l(tfrac8raiz77r)
(b) beta = arccos!l(tfrac-3raiz77r)
(c) gamma = arccos!l(tfrac2raiz77r)
(d) cos^2(alpha)+cos^2(beta)+cos^2(gamma)=1

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