1. Considerando fatores inibidores paráa variação da população, foi proposta uma modificação para o modelo do exercício anterior, onde se supõe então um nível máximo \gamma=\lim _{t \rightarrow \infty} p(t) que a população possa atingir e que há um fator inibidor proporcional an quadrado da população e com coeficiente \varepsilon=\frac{\lambda}{\gamma}. Então, neste modelo, a variação da população é regida pela equação de Bernoulli \frac{d p}{d t}=\lambda p-\varepsilon p^{2}, onde se supũe \lambda>0. Suponha que a população no instante t=0 seja p_{0}.
    a) Resolva a equação.
    b) Supondo p_{0}<\gamma, para que valor de p a taxa de variação \frac{d p}{d t} é máxima? Qual o valor máximo para esta taxa de variaçăo?
    c) Em que instante t o valor da taxa de variaçăo é máximo?

Passo 1

O enunciado descreve uma variação populacional segundo a equação de Bernoulli (modelo logístico)
\frac{dp}{dt} = \lambda p - \varepsilon p^2,
com \lambda>0, \varepsilon=\frac{\lambda}{\gamma} e condição inicial p(0)=p_0.
Precisamos:
  1. Resolver essa EDO para obter p(t).
  2. Determinar o valor de p que maximiza \frac{dp}{dt} e qual é esse valor máximo.
  3. Achar o instante t em que essa taxa atinge o máximo.

Passo 2

Para resolver
\frac{dp}{dt} = \lambda p - \frac{\lambda}{\gamma} p^2
fazemos separação de variáveis. Escrevendo
\frac{dp}{p\bigl(1 - \frac{p}{\gamma}\bigr)} = \lambda\,dt
e usando frações parciais
\frac{1}{p\bigl(\gamma-p\bigr)} =\frac{1}{\gamma}\Bigl(\frac{1}{p}+\frac{1}{\gamma-p}\Bigr),
integramos:
\int\frac{dp}{p(\gamma-p)} =\frac{1}{\gamma}\bigl(\ln p-\ln(\gamma-p)\bigr) =\lambda t + C.
Logo
\ln\frac{p}{\gamma-p} = \lambda t + C' \quad\Longrightarrow\quad \frac{p}{\gamma-p} = A\,e^{\lambda t},
onde A=e^{C'}. Impõe-se p(0)=p_0, então
A = \frac{p_0}{\gamma-p_0}.
Assim a solução é
p(t) = \frac{\gamma\,A\,e^{\lambda t}}{1 + A\,e^{\lambda t}} = \frac{\gamma\,p_0\,e^{\lambda t}} {\gamma - p_0 + p_0\,e^{\lambda t}} = \frac{\gamma\,p_0\,e^{\lambda t}}{\gamma + p_0\bigl(e^{\lambda t}-1\bigr)}.

Passo 3

A taxa de variação é
\frac{dp}{dt} = \lambda p - \frac{\lambda}{\gamma}p^2 =\lambda\Bigl(p - \frac{p^2}{\gamma}\Bigr),
que é uma parábola concava para baixo em p. O vértice dessa parábola ocorre em
p^* = \frac{\gamma}{2}.
Substituindo em \frac{dp}{dt}, o valor máximo é
\left.\frac{dp}{dt}\right|_{p=\gamma/2} =\lambda\Bigl(\frac{\gamma}{2}-\frac{1}{\gamma}\frac{\gamma^2}{4}\Bigr) =\lambda\frac{\gamma}{4}.

Passo 4

Para achar o instante em que p(t)=\gamma/2, igualamos
\frac{\gamma\,p_0\,e^{\lambda t}}{\gamma + p_0(e^{\lambda t}-1)} = \frac{\gamma}{2}.
Cancelando \gamma e resolvendo para e^{\lambda t}:
2p_0 e^{\lambda t} = \gamma + p_0(e^{\lambda t}-1) \;\Longrightarrow\; p_0 e^{\lambda t} = \gamma - p_0 \;\Longrightarrow\; e^{\lambda t} = \frac{\gamma - p_0}{p_0}.
Logo
t^* = \frac{1}{\lambda}\ln\!\biggl(\frac{\gamma - p_0}{p_0}\biggr).

Resposta

(a) p(t) = \frac{\gamma\,p_0\,e^{\lambda t}}{\gamma + p_0\bigl(e^{\lambda t}-1\bigr)}.
(b) A taxa é máxima em p^*=\tfrac{\gamma}{2} e o valor máximo é \lambda\gamma/4.
(c) O instante em que isso ocorre é
t^* = \frac{1}{\lambda}\ln\!\Bigl(\frac{\gamma-p_0}{p_0}\Bigr).

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