Considerando fatores inibidores paráa variação da população, foi proposta uma modificação para o modelo do exercício anterior, onde se supõe então um nível máximo \gamma=\lim _{t \rightarrow \infty} p(t) que a população possa atingir e que há um fator inibidor proporcional an quadrado da população e com coeficiente \varepsilon=\frac{\lambda}{\gamma}. Então, neste modelo, a variação da população é regida pela equação de Bernoulli \frac{d p}{d t}=\lambda p-\varepsilon p^{2}, onde se supũe \lambda>0. Suponha que a população no instante t=0 seja p_{0}.
a) Resolva a equação.
b) Supondo p_{0}<\gamma, para que valor de p a taxa de variação \frac{d p}{d t} é máxima? Qual o valor máximo para esta taxa de variaçăo?
c) Em que instante t o valor da taxa de variaçăo é máximo?
Passo 1
O enunciado descreve uma variação populacional segundo a equação de Bernoulli (modelo logístico)
\frac{dp}{dt} = \lambda p - \varepsilon p^2,
com \lambda>0, \varepsilon=\frac{\lambda}{\gamma} e condição inicial p(0)=p_0.
Precisamos:
Resolver essa EDO para obter p(t).
Determinar o valor de p que maximiza \frac{dp}{dt} e qual é esse valor máximo.
Achar o instante t em que essa taxa atinge o máximo.
Passo 2
Para resolver
\frac{dp}{dt} = \lambda p - \frac{\lambda}{\gamma} p^2