- (Decaimento radioativo) Um material rudioativo se desintegra a uma taxa
proporcional a
, onde
é a quantidade de matéria no instante
. Supondo que a quantidade inicial (
) é
, determine
.
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial de primeira ordem para a massa
de um material radioativo, cuja taxa de variação obedece
Isso é o modelo clássico de decaimento exponencial. Para resolver, vamos usar separação de variáveis e integração de funções elementares.
Passo 2
Escrevemos a proporcionalidade com uma constante positiva
e sinal negativo (pois
decresce):
onde
. Agora separamos as variáveis
e
:
Passo 3
Integramos ambos os lados:
sendo
a constante de integração. Exponenciando, obtemos
onde
.
Passo 4
Usamos a condição inicial
:
Logo a solução particular é