1. (Decaimento radioativo) Um material rudioativo se desintegra a uma taxa \frac{d m}{d t} proporcional a m, onde m=m(t) é a quantidade de matéria no instante t. Supondo que a quantidade inicial ( e m t=0 ) é m(0)=m_{0}, determine m=m(t).

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial de primeira ordem para a massa m(t) de um material radioativo, cuja taxa de variação obedece
\frac{dm}{dt} \propto m.
Isso é o modelo clássico de decaimento exponencial. Para resolver, vamos usar separação de variáveis e integração de funções elementares.

Passo 2

Escrevemos a proporcionalidade com uma constante positiva \lambda e sinal negativo (pois m decresce):
\frac{dm}{dt} = -\lambda\,m,
onde \lambda>0. Agora separamos as variáveis m e t:
\frac{1}{m}\,dm = -\lambda\,dt.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{m}\,dm = \int -\lambda\,dt
\ln|m| = -\lambda\,t + C,
sendo C a constante de integração. Exponenciando, obtemos
m(t) = e^{-\lambda t + C} = C'\,e^{-\lambda t},
onde C' = e^C.

Passo 4

Usamos a condição inicial m(0)=m_{0}:
m(0) = C'\,e^{-\lambda\cdot 0} = C' = m_{0}.
Logo a solução particular é
m(t) = m_{0}\,e^{-\lambda t}.

Resposta

m(t) = m_{0}\,e^{-\lambda t}.

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