Resolva
\frac{d \nu}{d t}=4-\nu^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{d\nu}{dt}=4-\nu^{2}
O conteúdo é EDO separável: vamos separar variáveis e integrar para achar a solução geral.

Passo 2

Separamos as variáveis colocando todos os termos em \nu de um lado e em t do outro:
\frac{d\nu}{4-\nu^{2}} = dt

Passo 3

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo usamos frações parciais:
\frac{1}{4-\nu^{2}} = \frac{1}{4}\Bigl(\frac{1}{2+\nu} + \frac{1}{2-\nu}\Bigr)
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\int \frac{d\nu}{4-\nu^{2}} = \frac{1}{4}\int\Bigl(\frac{1}{2+\nu} + \frac{1}{2-\nu}\Bigr)d\nu = \frac{1}{4}\ln\Bigl|\frac{2+\nu}{2-\nu}\Bigr| + C

Passo 4

Igualando à integral de dt, que é t + C_{1}, obtemos
\frac{1}{4}\ln\Bigl|\frac{2+\nu}{2-\nu}\Bigr| = t + C_{1}
Multiplicando por 4 e exponenciando:
\Bigl|\frac{2+\nu}{2-\nu}\Bigr| = A e^{4t},\quad A=e^{4C_{1}}>0

Passo 5

Isolamos \nu. Tirando o valor absoluto e resolvendo a fração:
\frac{2+\nu}{2-\nu} = Ae^{4t} \quad\Longrightarrow\quad \nu = 2\,\frac{Ae^{4t}-1}{Ae^{4t}+1}
Podemos reescrever usando tangente hiperbólica, definindo constante K tal que Ae^{4t}=\exp(4t+K):
\nu(t)=2\operatorname{tanh}\bigl(2t+K/2\bigr)

Resposta

\nu(t)=2\,\frac{Ae^{4t}-1}{Ae^{4t}+1},
ou equivalentemente
\nu(t)=2\operatorname{tanh}\bigl(2t+C\bigr),
com A>0 e C constantes de integração.

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