Considerando um fio infinito uniformemente carregado com densidade
, calcule o campo elétrico
e a força de interação entre o fio e uma carga q a uma distância r
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos um fio infinito com densidade linear de carga
e queremos calcular o campo elétrico
gerado por esse fio e a força exercida sobre uma carga
situada a uma distância
do fio. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico e depois aplicar a Lei de Coulomb para determinar a força.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o campo elétrico
. Como o fio é infinito e uniformemente carregado, o campo elétrico será radialmente simétrico ao redor do fio. A Lei de Gauss é uma ferramenta perfeita para esse tipo de problema porque ela relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga dentro dessa superfície.
Passo 3
Vamos escolher uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial com o fio. A razão para isso é a simetria do problema: usando um cilindro, o cálculo do fluxo elétrico fica mais simples. O cilindro terá raio
(a distância da carga
até o fio) e comprimento
.
Passo 4
O fluxo elétrico
através da superfície gaussiana é dado por:
Aqui,
é o campo elétrico que queremos encontrar,
é a área lateral do cilindro, e assumimos que o campo é constante e perpendicular à superfície lateral do cilindro. As tampas do cilindro não contribuem para o fluxo porque o campo elétrico é paralelo a elas.
Passo 5
Segundo a Lei de Gauss, o fluxo elétrico
é igual à carga total
dentro da superfície dividida pela permissividade do vácuo
:
A carga interna
é a carga do fio dentro do comprimento
, que é
.
Passo 6
Igualando as duas expressões para o fluxo elétrico:
Podemos simplificar
de ambos os lados, já que ele se cancela:
Passo 7
Resolviendo para
, temos:
Então, o campo elétrico gerado pelo fio a uma distância
é proporcional à densidade de carga
e inversamente proporcional a
.
Passo 8
Agora, para encontrar a força
sobre a carga
, usamos a Lei de Coulomb, que relaciona a força elétrica com o campo elétrico:
Substituindo o valor de
que encontramos:
Resposta
O campo elétrico gerado pelo fio é $ E = \dfrac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r} $ e a força de interação entre o fio e a carga
a uma distância
é $ F = \dfrac{q\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r} $.