Considerando um fio infinito uniformemente carregado com densidade lambda, calcule o campo elétrico E e a força de interação entre o fio e uma carga q a uma distância r
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Passo 1

Vamos resumir o problema: temos um fio infinito com densidade linear de carga lambda e queremos calcular o campo elétrico E gerado por esse fio e a força exercida sobre uma carga q situada a uma distância r do fio. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico e depois aplicar a Lei de Coulomb para determinar a força.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o campo elétrico E. Como o fio é infinito e uniformemente carregado, o campo elétrico será radialmente simétrico ao redor do fio. A Lei de Gauss é uma ferramenta perfeita para esse tipo de problema porque ela relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga dentro dessa superfície.

Passo 3

Vamos escolher uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial com o fio. A razão para isso é a simetria do problema: usando um cilindro, o cálculo do fluxo elétrico fica mais simples. O cilindro terá raio r (a distância da carga q até o fio) e comprimento L.

Passo 4

O fluxo elétrico Phi através da superfície gaussiana é dado por:
Phi = E cdot 2pi r L
Aqui, E é o campo elétrico que queremos encontrar, 2pi r L é a área lateral do cilindro, e assumimos que o campo é constante e perpendicular à superfície lateral do cilindro. As tampas do cilindro não contribuem para o fluxo porque o campo elétrico é paralelo a elas.

Passo 5

Segundo a Lei de Gauss, o fluxo elétrico Phi é igual à carga total Qint dentro da superfície dividida pela permissividade do vácuo varepsilon0:
Phi = Qintvarepsilon0
A carga interna Qint é a carga do fio dentro do comprimento L, que é lambda L.

Passo 6

Igualando as duas expressões para o fluxo elétrico:
E cdot 2pi r L = lambda Lvarepsilon0
Podemos simplificar L de ambos os lados, já que ele se cancela:
E cdot 2pi r = lambdavarepsilon0

Passo 7

Resolviendo para E, temos:
E = lambda2pi varepsilon0 r
Então, o campo elétrico gerado pelo fio a uma distância r é proporcional à densidade de carga lambda e inversamente proporcional a r.

Passo 8

Agora, para encontrar a força F sobre a carga q, usamos a Lei de Coulomb, que relaciona a força elétrica com o campo elétrico:
F = qE
Substituindo o valor de E que encontramos:
F = q cdot lambda2pi varepsilon0 r = qlambda2pi varepsilon0 r

Resposta

O campo elétrico gerado pelo fio é $ E = \dfrac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r} $ e a força de interação entre o fio e a carga E = dfraclambda2pi varepsilon0 r a uma distância q é $ F = \dfrac{q\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r} $.

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