considerando a função
: Calcule o resultado da integral
utilizando os seguintes métodos e número de pontos. Sabendo que o resultado analítico da função é
. Calcule o erro relativo em cada letra e comente o resultado.
Trapézio, 5 pontos;
Trapézio, 5 pontos;
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a integral
para
usando a regra do trapézio com 5 pontos. O enunciado também informa o valor analítico
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Função:
. - Intervalo de integração:
. - Método solicitado: regra do trapézio composta com 5 pontos (ou seja,
nós). - Resultado analítico conhecido:
.
Passo 2
Definição e fórmula da regra do trapézio composta (explicação didática):
- Se usamos
pontos igualmente espaçados no intervalo , então o número de subintervalos é e o passo é
- Os nós são
. - A regra do trapézio composta aproxima a integral por
O que isso significa, na prática: a área sob a curva é aproximada por uma sequência de trapézios em cada subintervalo; para pontos interiores soma-se o valor inteiro de
, e nas extremidades usa-se metade do peso (porque cada extremidade pertence a apenas um trapézio), por isso os coeficientes
nas bordas.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso:
- Temos
, , e queremos 5 pontos, logo subintervalos. - O passo é
- Os nós são
- Calculamos
em cada nó. Lembre que , então:
(Usei os valores numéricos padrão de
.)]
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula do trapézio composta:
Substituindo os valores (mostrando cada passo aritmético):
e a soma dos pontos interiores
Somando tudo dentro do parêntese:
Multiplicando por
:
Portanto a aproximação pelo trapézio com 5 pontos é
Passo 5
Cálculo do erro relativo (explicando a fórmula):
- Erro absoluto:
, em que é o valor exato. - Erro relativo:
.
Aqui(valor fornecido). Calculando:
Em percentagem isso é aproximadamente
.
Passo 6
Comentário didático sobre o resultado e comportamento do erro:
- Observação qualitativa:
em todo . Como , a função é convexa para cima e a regra do trapézio tende a sobreestimar a integral (isto é consistente com ). - Ordem do erro: a regra do trapézio composta tem erro que, em termos de ordem, se comporta como
. Mais precisamente existe tal que
Isto indica que reduzindo
pela metade o erro global deve cair aproximadamente por um fator
.
- Estimativa superior (cota) do erro usando
:
A cota teórica é
Essa cota é válida, mas bastante conservadora (maior do que o erro observado
). Isso é comum: a cota usa o máximo absoluto de
e por isso pode superestimar bastante o erro real.
- Conclusão prática: com apenas 5 pontos (h relativamente grande), o trapézio deu um erro relativo de aproximadamente
. Para reduzir o erro até, por exemplo, , seria necessário usar muitos mais subintervalos (lembrando que o erro escala como ).
Resposta
Trapézio (5 pontos):
Erro relativo: (
)
Erro relativo: