considerando a função f(x)=e^{2 x} : Calcule o resultado da integral \int_{0}^{2} f(x) d x utilizando os seguintes métodos e número de pontos. Sabendo que o resultado analítico da função é \int_{0}^{2} f(x) d x=26.799075. Calcule o erro relativo em cada letra e comente o resultado.
Trapézio, 5 pontos;

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a integral
\int_{0}^{2} f(x)\,dx
para f(x)=e^{2x} usando a regra do trapézio com 5 pontos. O enunciado também informa o valor analítico
\int_{0}^{2} f(x)\,dx = 26,799075.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Função: f(x)=e^{2x}.
  • Intervalo de integração: [0,2].
  • Método solicitado: regra do trapézio composta com 5 pontos (ou seja, 5 nós).
  • Resultado analítico conhecido: 26,799075.

Passo 2

Definição e fórmula da regra do trapézio composta (explicação didática):
  • Se usamos n+1 pontos igualmente espaçados no intervalo [a,b], então o número de subintervalos é n e o passo é
h=\frac{b-a}{n}.
  • Os nós são \,x_0=a,\;x_1=a+h,\;x_2=a+2h,\;\dots,\;x_n=b\,.
  • A regra do trapézio composta aproxima a integral por
T_n = h\left(\frac{1}{2}f(x_0) + \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + \frac{1}{2}f(x_n)\right).
O que isso significa, na prática: a área sob a curva é aproximada por uma sequência de trapézios em cada subintervalo; para pontos interiores soma-se o valor inteiro de f, e nas extremidades usa-se metade do peso (porque cada extremidade pertence a apenas um trapézio), por isso os coeficientes 1/2 nas bordas.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso:
  • Temos a=0, b=2, e queremos 5 pontos, logo n=4 subintervalos.
  • O passo é
h=\frac{2-0}{4}=0,5.
  • Os nós são
x_0=0,\; x_1=0,5,\; x_2=1,0,\; x_3=1,5,\; x_4=2,0.
  • Calculamos f em cada nó. Lembre que f(x)=e^{2x}, então:
\begin{aligned} f(x_0)&=f(0)=e^{0}=1,\\[4pt] f(x_1)&=f(0,5)=e^{2\cdot0,5}=e^{1}=2,718281828459045\ldots,\\[4pt] f(x_2)&=f(1,0)=e^{2\cdot1}=e^{2}=7,38905609893065\ldots,\\[4pt] f(x_3)&=f(1,5)=e^{2\cdot1,5}=e^{3}=20,085536923187667\ldots,\\[4pt] f(x_4)&=f(2,0)=e^{2\cdot2}=e^{4}=54,598150033144236\ldots. \end{aligned}
(Usei os valores numéricos padrão de e^{k}.)]

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula do trapézio composta:
T_4 = h\left(\frac{1}{2}f(x_0) + f(x_1)+f(x_2)+f(x_3) + \frac{1}{2}f(x_4)\right).
Substituindo os valores (mostrando cada passo aritmético):
\begin{aligned} \frac{1}{2}f(x_0)+\frac{1}{2}f(x_4) &=\tfrac{1}{2}\cdot 1 + \tfrac{1}{2}\cdot 54,598150033144236 =0,5 + 27,299075016572118\\[4pt] &=27,799075016572118, \end{aligned}
e a soma dos pontos interiores
f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)=2,718281828459045+7,38905609893065+20,085536923187667=30,192874850577362.
Somando tudo dentro do parêntese:
27,799075016572118 + 30,192874850577362 = 57,99194986714948.
Multiplicando por h=0,5:
T_4 = 0,5 \times 57,99194986714948 = 28,99597493357474.
Portanto a aproximação pelo trapézio com 5 pontos é
T_4 \approx 28,99597493357474.]

Passo 5

Cálculo do erro relativo (explicando a fórmula):
  • Erro absoluto: |E|=|T_4 - I|, em que I é o valor exato.
  • Erro relativo: \displaystyle \text{erro relativo}=\frac{|T_4-I|}{|I|}.
    Aqui I=26,799075 (valor fornecido). Calculando:
|T_4 - I| = |28,99597493357474 - 26,799075016572118| = 2,196899917002622.
\text{erro relativo} = \frac{2,196899917002622}{26,799075016572118} \approx 0,081974508.
Em percentagem isso é aproximadamente 8,1974508\%.

Passo 6

Comentário didático sobre o resultado e comportamento do erro:
  • Observação qualitativa: f''(x)=\dfrac{d^2}{dx^2}e^{2x}=4e^{2x}>0 em todo [0,2]. Como f''>0, a função é convexa para cima e a regra do trapézio tende a sobreestimar a integral (isto é consistente com T_4>I).
  • Ordem do erro: a regra do trapézio composta tem erro que, em termos de ordem, se comporta como O(h^2). Mais precisamente existe \xi\in[a,b] tal que
E_T = -\frac{(b-a)h^2}{12} f''(\xi).
Isto indica que reduzindo h pela metade o erro global deve cair aproximadamente por um fator 4.
  • Estimativa superior (cota) do erro usando \max_{[0,2]}|f''(x)|:
\max_{[0,2]} f''(x)=f''(2)=4e^{4}=218,39260013257695\ldots
A cota teórica é
|E_T|\le \frac{(b-a)h^2}{12}\max_{[0,2]}|f''(x)| = \frac{2\cdot(0,5)^2}{12}\cdot 218,39260013257695 \approx 9,099691\\ .
Essa cota é válida, mas bastante conservadora (maior do que o erro observado \approx 2,197). Isso é comum: a cota usa o máximo absoluto de f'' e por isso pode superestimar bastante o erro real.
  • Conclusão prática: com apenas 5 pontos (h relativamente grande), o trapézio deu um erro relativo de aproximadamente 8{,}2\%. Para reduzir o erro até, por exemplo, 1\%, seria necessário usar muitos mais subintervalos (lembrando que o erro escala como h^2).

Resposta

Trapézio (5 pontos): T_4 \approx 28,99597493357474
Erro relativo: 0,081974508 ( 8,1974508\%)

Exercícios relacionados