considerando a função f(x)=e^{2 x} : Calcule o resultado da integral \int_{0}^{2} f(x) d x utilizando os seguintes métodos e número de pontos. Sabendo que o resultado analítico da função é \int_{0}^{2} f(x) d x=26.799075. Calcule o erro relativo em cada letra e comente o resultado.
Simpson, 3 pontos;

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado:
  • Pede-se aproximar a integral \displaystyle \int_{0}^{2} f(x)\,dx com f(x)=e^{2x} usando o método de Simpson com 3 pontos.
  • Foi informado o valor analítico (exato) da integral: \displaystyle \int_{0}^{2} f(x)\,dx = 26{,}799075.
  • Devemos também calcular o erro relativo da aproximação e comentar o resultado.
Informações numéricas úteis que usarei (retirei do enunciado):
  • Intervalo: a=0, b=2.
  • Resultado exato: I_{\text{exato}} = 26{,}799075.

Passo 2

Entendendo a regra de Simpson (3 pontos) — o que é e por que usar:
  • A regra de Simpson com 3 pontos é a aplicação única da chamada regra de Simpson (ou Simpson 1/3) no intervalo inteiro [a,b]. Ela usa três nós: x_0=a, x_1=\dfrac{a+b}{2}, x_2=b.
  • Definindo h=\dfrac{b-a}{2}, a fórmula de Simpson (uma aplicação) é:
S=\frac{h}{3}\bigl(f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\bigr).
  • Interpretação didática: Simpson aproxima a função por um polinômio quadrático que passa pelos três pontos e integra esse polinômio; é exata para polinômios de grau até 3 (curioso, mas sim: Simpson integra exatamente polinômios até grau 3). Para funções suaves mas não polinomiais (como exponenciais) a aproximação é geralmente boa, mas depende do tamanho de h.

Passo 3

Calcular h e os nós, e avaliar f neles:
  • Calculo de h:
h=\frac{b-a}{2}=\frac{2-0}{2}=1.
  • Nós:
x_0=0,\qquad x_1=1,\qquad x_2=2.
  • Avaliando f(x)=e^{2x} em cada nó:
f(x_0)=f(0)=e^{0}=1,
f(x_1)=f(1)=e^{2}\approx 7{,}389056099,
f(x_2)=f(2)=e^{4}\approx 54{,}598150033.
(Valores de e^{2} e e^{4} obtidos pela avaliação numérica; aqui usei 9 casas decimais para manter precisão suficiente.)

Passo 4

Aplicar a fórmula de Simpson passo a passo:
  • A fórmula é
S=\frac{h}{3}\bigl(f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\bigr).
  • Substituindo h=1 e os valores de f:
S=\frac{1}{3}\bigl(1 + 4\cdot 7{,}389056099 + 54{,}598150033\bigr).
  • Calculemos a soma interna:
4\cdot 7{,}389056099 = 29{,}556224396,
1 + 29{,}556224396 + 54{,}598150033 = 85{,}154374429.
  • Dividindo por 3:
S = \frac{85{,}154374429}{3} \approx 28{,}3847914763.
Portanto a aproximação de Simpson (3 pontos) é \displaystyle S \approx 28{,}3847914763.

Passo 5

Calcular o erro relativo e interpretar a fórmula do erro:
  • Definição do erro relativo (valor absoluto, sem sinal):
\text{erro relativo} = \frac{\bigl|S - I_{\text{exato}}\bigr|}{I_{\text{exato}}}.
  • Substituindo S e I_{\text{exato}}:
\bigl|S - I_{\text{exato}}\bigr| = \bigl|28{,}3847914763 - 26{,}799075\bigr| = 1{,}5857164763.
\text{erro relativo} = \frac{1{,}5857164763}{26{,}799075} \approx 0{,}059195.
Em percentagem:
\text{erro relativo} \approx 5{,}9195\%.

Passo 6

Comentário sobre o resultado (interpretação e dicas para a prova)
  • Resultado numérico: Simpson com 3 pontos deu S\approx 28{,}3847914763 e o erro relativo foi aproximadamente 0{,}059195 (ou 5{,}92\%). Isso é um erro moderado — não pequeno.
  • Por que aconteceu esse erro? Simpson usa só um painel (largura total 2) e a função e^{2x} cresce rapidamente no intervalo [0,2]. Quanto maior h, maior tende a ser o erro em função não-polynomial. Para melhorar, usa-se Simpson composto (dividir [0,2] em mais subintervalos pares e aplicar Simpson em cada par) — diminuir h reduz fortemente o erro.
  • Estimativa teórica do erro (para referência): a fórmula de erro para uma aplicação de Simpson é
E_S = -\frac{(b-a)^5}{2880}\,f^{(4)}(\xi)
para algum \xi\in[a,b]. Para f(x)=e^{2x} temos f^{(4)}(x)=16e^{2x}, cujo máximo em [0,2] é em x=2: 16e^{4}\approx 873{,}5704005. Assim um limite superior para |E_S| é
\frac{(2)^5}{2880}\cdot 873{,}5704005 \approx 9{,}7063378.
Esse é um majorante conservador (muito maior que o erro real 1{,}5857), mas serve para garantir que o erro não é arbitrariamente grande. Conclusão prática para prova: se o enunciado pede boa precisão, use Simpson composto (mais pontos) ou outra regra com mais nós.

Resposta

Simpson (3 pontos): \displaystyle S \approx 28{,}3847914763
Erro relativo: \displaystyle \approx 0{,}059195 \;(\text{ou }5{,}9195\%)

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