considerando a função f(x)=e^{2 x} : Calcule o resultado da integral \int_{0}^{2} f(x) d x utilizando os seguintes métodos e número de pontos. Sabendo que o resultado analítico da função é \int_{0}^{2} f(x) d x=26.799075. Calcule o erro relativo em cada letra e comente o resultado.
Simpson, 3 pontos;
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado:
Pede-se aproximar a integral \displaystyle \int_{0}^{2} f(x)\,dx com f(x)=e^{2x} usando o método de Simpson com 3 pontos.
Foi informado o valor analítico (exato) da integral: \displaystyle \int_{0}^{2} f(x)\,dx = 26{,}799075.
Devemos também calcular o erro relativo da aproximação e comentar o resultado.
Informações numéricas úteis que usarei (retirei do enunciado):
Intervalo: a=0, b=2.
Resultado exato: I_{\text{exato}} = 26{,}799075.
Passo 2
Entendendo a regra de Simpson (3 pontos) — o que é e por que usar:
A regra de Simpson com 3 pontos é a aplicação única da chamada regra de Simpson (ou Simpson 1/3) no intervalo inteiro [a,b]. Ela usa três nós: x_0=a, x_1=\dfrac{a+b}{2}, x_2=b.
Definindo h=\dfrac{b-a}{2}, a fórmula de Simpson (uma aplicação) é:
S=\frac{h}{3}\bigl(f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\bigr).
Interpretação didática: Simpson aproxima a função por um polinômio quadrático que passa pelos três pontos e integra esse polinômio; é exata para polinômios de grau até 3 (curioso, mas sim: Simpson integra exatamente polinômios até grau 3). Para funções suaves mas não polinomiais (como exponenciais) a aproximação é geralmente boa, mas depende do tamanho de h.
Passo 3
Calcular h e os nós, e avaliar f neles:
Calculo de h:
h=\frac{b-a}{2}=\frac{2-0}{2}=1.
Nós:
x_0=0,\qquad x_1=1,\qquad x_2=2.
Avaliando f(x)=e^{2x} em cada nó:
f(x_0)=f(0)=e^{0}=1,
f(x_1)=f(1)=e^{2}\approx 7{,}389056099,
f(x_2)=f(2)=e^{4}\approx 54{,}598150033.
(Valores de e^{2} e e^{4} obtidos pela avaliação numérica; aqui usei 9 casas decimais para manter precisão suficiente.)
Comentário sobre o resultado (interpretação e dicas para a prova)
Resultado numérico: Simpson com 3 pontos deu S\approx 28{,}3847914763 e o erro relativo foi aproximadamente 0{,}059195 (ou 5{,}92\%). Isso é um erro moderado — não pequeno.
Por que aconteceu esse erro? Simpson usa só um painel (largura total 2) e a função e^{2x} cresce rapidamente no intervalo [0,2]. Quanto maior h, maior tende a ser o erro em função não-polynomial. Para melhorar, usa-se Simpson composto (dividir [0,2] em mais subintervalos pares e aplicar Simpson em cada par) — diminuir h reduz fortemente o erro.
Estimativa teórica do erro (para referência): a fórmula de erro para uma aplicação de Simpson é
E_S = -\frac{(b-a)^5}{2880}\,f^{(4)}(\xi)
para algum \xi\in[a,b]. Para f(x)=e^{2x} temos f^{(4)}(x)=16e^{2x}, cujo máximo em [0,2] é em x=2: 16e^{4}\approx 873{,}5704005. Assim um limite superior para |E_S| é
Esse é um majorante conservador (muito maior que o erro real 1{,}5857), mas serve para garantir que o erro não é arbitrariamente grande. Conclusão prática para prova: se o enunciado pede boa precisão, use Simpson composto (mais pontos) ou outra regra com mais nós.