considerando a função f(x)=e^{2 x} : Calcule o resultado da integral \int_{0}^{2} f(x) d x utilizando os seguintes métodos e número de pontos. Sabendo que o resultado analítico da função é \int_{0}^{2} f(x) d x=26.799075. Calcule o erro relativo em cada letra e comente o resultado.
Trapézio, 3 pontos;
Passo 1
O enunciado pede: calcular a integral
\int_{0}^{2} f(x)\,dx
para f(x)=e^{2x} usando o método do trapézio com 3 pontos, e então calcular o erro relativo em relação ao valor analítico fornecido \displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,dx=26{,}799075.
Informações relevantes dadas:
Função: f(x)=e^{2x}.
Intervalo de integração: [0,2].
Método: regra do trapézio composta com 3 pontos (ou seja, 3 nós).
Valor exato (fornecido) da integral: I_{\text{exato}}=26{,}799075.
Passo 2
Interpretando “3 pontos” para o trapézio composto: com 3 pontos temos m=3 nós e, portanto, n=m-1=2 subintervalos. Os nós são igualmente espaçados em [0,2], então:
x_0=0,\quad x_1=1,\quad x_2=2.
O passo (tamanho do subintervalo) é
h=\frac{b-a}{n}=\frac{2-0}{2}=1.
Passo 3
Fórmula da regra do trapézio composta (com n subintervalos, n=2 aqui):
Calcular o erro absoluto e o erro relativo. O valor exato dado é I_{\text{exato}}=26{,}799075 (vou usar esse valor conforme enunciado para calcular o erro relativo pedido).
Erro absoluto:
Interpretação e comentário (dicas para a prova, motivação):
A função e^{2x} é convexa e cresce rapidamente; a regra do trapézio tende a sobreestimar integrais de funções convexas quando os subintervalos são largos. Aqui, com apenas 2 subintervalos (h=1), o excesso é grande: o valor aproximado é I_{\text{trap}}\approx35{,}18813 enquanto o exato é 26{,}799075.
O erro relativo de cerca de 31{,}3\% é alto — na prova, se for permitido, aumente o número de pontos (diminuir h) para reduzir o erro, ou use uma regra de maior ordem (por exemplo Simpson) se aplicável.
Observação matemática bonita: a diferença exata I_{\text{trap}}-I_{\text{exato}}=e^{2}+1 mostra que às vezes vale a pena manipular simbolicamente antes de arredondar; isso dá insights exatos sobre como o erro depende da função.