considerando a função f(x)=e^{2 x} : Calcule o resultado da integral \int_{0}^{2} f(x) d x utilizando os seguintes métodos e número de pontos. Sabendo que o resultado analítico da função é \int_{0}^{2} f(x) d x=26.799075. Calcule o erro relativo em cada letra e comente o resultado.
Trapézio, 3 pontos;

Passo 1

O enunciado pede: calcular a integral
\int_{0}^{2} f(x)\,dx
para f(x)=e^{2x} usando o método do trapézio com 3 pontos, e então calcular o erro relativo em relação ao valor analítico fornecido \displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,dx=26{,}799075.
Informações relevantes dadas:
  • Função: f(x)=e^{2x}.
  • Intervalo de integração: [0,2].
  • Método: regra do trapézio composta com 3 pontos (ou seja, 3 nós).
  • Valor exato (fornecido) da integral: I_{\text{exato}}=26{,}799075.

Passo 2

Interpretando “3 pontos” para o trapézio composto: com 3 pontos temos m=3 nós e, portanto, n=m-1=2 subintervalos. Os nós são igualmente espaçados em [0,2], então:
x_0=0,\quad x_1=1,\quad x_2=2.
O passo (tamanho do subintervalo) é
h=\frac{b-a}{n}=\frac{2-0}{2}=1.

Passo 3

Fórmula da regra do trapézio composta (com n subintervalos, n=2 aqui):
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\bigl(f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+\dots+f(x_n)\bigr).
No nosso caso com n=2 isso fica
\int_{0}^{2} f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\bigl(f(x_0)+2f(x_1)+f(x_2)\bigr).

Passo 4

Calcular os valores de f nos nós:
f(x_0)=f(0)=e^{0}=1,
f(x_1)=f(1)=e^{2}=e^{2},
f(x_2)=f(2)=e^{4}=e^{4}.

Passo 5

Aplicando a fórmula do trapézio com h=1:
I_{\text{trap}}=\frac{1}{2}\bigl(1+2e^{2}+e^{4}\bigr).
Podemos notar uma simplificação elegante:
1+2e^{2}+e^{4}=(e^{2}+1)^{2},
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I_{\text{trap}}=\frac{1}{2}(e^{2}+1)^{2}.
Se quiser um valor numérico, usamos e^{2}\approx 7{,}38905609893 e e^{4}\approx54{,}59815003314. Então
I_{\text{trap}}=\frac{1}{2}\bigl(1+2\cdot7{,}38905609893+54{,}59815003314\bigr)\approx 35{,}1881311155.

Passo 6

Calcular o erro absoluto e o erro relativo. O valor exato dado é I_{\text{exato}}=26{,}799075 (vou usar esse valor conforme enunciado para calcular o erro relativo pedido).
Erro absoluto:
E_{\text{abs}}=\bigl|I_{\text{trap}}-I_{\text{exato}}\bigr| =\bigl|\tfrac{1}{2}(e^{2}+1)^{2}-26{,}799075\bigr|.
Podemos obter uma expressão exata para a diferença: lembrando que I_{\text{exato}}=\tfrac{1}{2}(e^{4}-1), temos
I_{\text{trap}}-I_{\text{exato}}=\tfrac{1}{2}\bigl(e^{4}+2e^{2}+1-(e^{4}-1)\bigr)=e^{2}+1.
Portanto o erro absoluto exato é
E_{\text{abs}}=e^{2}+1\approx 7{,}38905609893+1=8{,}38905609893.
Erro relativo (razão entre erro absoluto e valor exato):
E_{\text{rel}}=\frac{E_{\text{abs}}}{I_{\text{exato}}} =\frac{e^{2}+1}{\tfrac{1}{2}(e^{4}-1)} =\frac{2(e^{2}+1)}{e^{4}-1}.
Simplificando usando e^{4}-1=(e^{2}-1)(e^{2}+1) obtém-se a forma simples
E_{\text{rel}}=\frac{2}{e^{2}-1}\approx\frac{2}{7{,}38905609893-1}=\frac{2}{6{,}38905609893}\approx0{,}313159\ldots
Em porcentagem:
E_{\text{rel}}\times100\%\approx31{,}3159\%.

Passo 7

Interpretação e comentário (dicas para a prova, motivação):
  • A função e^{2x} é convexa e cresce rapidamente; a regra do trapézio tende a sobreestimar integrais de funções convexas quando os subintervalos são largos. Aqui, com apenas 2 subintervalos ( h=1), o excesso é grande: o valor aproximado é I_{\text{trap}}\approx35{,}18813 enquanto o exato é 26{,}799075.
  • O erro relativo de cerca de 31{,}3\% é alto — na prova, se for permitido, aumente o número de pontos (diminuir h) para reduzir o erro, ou use uma regra de maior ordem (por exemplo Simpson) se aplicável.
  • Observação matemática bonita: a diferença exata I_{\text{trap}}-I_{\text{exato}}=e^{2}+1 mostra que às vezes vale a pena manipular simbolicamente antes de arredondar; isso dá insights exatos sobre como o erro depende da função.

Resposta

Aproximação (trapézio, 3 pontos): I_{\text{trap}}=\dfrac{1}{2}(e^{2}+1)^{2}\approx35{,}1881311155
Erro relativo: E_{\text{rel}}=\dfrac{2}{e^{2}-1}\approx0{,}313159 (≈ 31{,}3159\%)

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