Dado o problema de valor inicial:
Resolva-o pelo método de Euler, com
, no intervalo
, e assinale a alternativa correta.
Selecione a resposta:
A 5,77659.
B 5,60093.
C 5,27081.
D 4,91233.
E
Selecione a resposta:
A 5,77659.
B 5,60093.
C 5,27081.
D 4,91233.
E
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial que é uma equação diferencial:
O que isso significa é que a derivada de $ y $ em relação a $ x $ é igual a $ x $ vezes a raiz quadrada de $ y $, e sabemos que quando $ x = 1 $, $ y = 4 $. A gente precisa resolver essa equação usando o Método de Euler com um passo $ h = 1 $ no intervalo de $ [1; 1,5] $. O Método de Euler é uma técnica numérica para aproximar soluções de equações diferenciais quando não conseguimos resolver de forma exata.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o Método de Euler. A ideia é usar o ponto inicial para estimar o próximo ponto na curva da solução. A fórmula básica é:
Onde:
- $ y_{n+1} $ é o valor aproximado de $ y $ no próximo passo.
- $ y_n $ é o valor atual de $ y $.
- $ h $ é o tamanho do passo.
- $ f(x_n, y_n) $ é a derivada, que no nosso caso é $ x_n \sqrt{y_n} $.
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos:
- Ponto inicial: $ x_0 = 1 $, $ y_0 = 4 $
- Passo $ h = 1 $
- Função $ f(x, y) = x \sqrt{y} $
Agora, vamos aplicar a fórmula do Método de Euler para encontrar $ y_1 $ em $ x_1 = x_0 + h = 2 $. Mas o intervalo que a gente quer é até $ x = 1,5 $, então na verdade precisamos ajustar o passo para $ h = 0,5 $ para não passar do intervalo. Vamos usar $ h = 0,5 $.
Passo 4
Calculando $ f(x_0, y_0) $:
Agora aplicamos o Método de Euler:
Então, depois do primeiro passo, temos $ y_1 = 5 $ em $ x_1 = 1,5 $.
Resposta
A aproximação pelo Método de Euler nos dá $ y(1,5) \approx 5 $. Observando as alternativas, a mais próxima de 5 é a alternativa A) 5,77659.