Dado o problema de valor inicial:
y^prime=x raizy, com y(1)=4
Resolva-o pelo método de Euler, com h=1, no intervalo [1; 1,5], e assinale a alternativa correta.
Selecione a resposta:
A 5,77659.
B 5,60093.
C 5,27081.
D 4,91233.
E 4,09883

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial que é uma equação diferencial:
y' = x raizy, com y(1) = 4
O que isso significa é que a derivada de $ y $ em relação a $ x $ é igual a $ x $ vezes a raiz quadrada de $ y $, e sabemos que quando $ x = 1 $, $ y = 4 $. A gente precisa resolver essa equação usando o Método de Euler com um passo $ h = 1 $ no intervalo de $ [1; 1,5] $. O Método de Euler é uma técnica numérica para aproximar soluções de equações diferenciais quando não conseguimos resolver de forma exata.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Método de Euler. A ideia é usar o ponto inicial para estimar o próximo ponto na curva da solução. A fórmula básica é:
yn+1 = yn + h cdot f(xn, yn)
Onde:
  • $ y_{n+1} $ é o valor aproximado de $ y $ no próximo passo.
  • $ y_n $ é o valor atual de $ y $.
  • $ h $ é o tamanho do passo.
  • $ f(x_n, y_n) $ é a derivada, que no nosso caso é $ x_n \sqrt{y_n} $.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • Ponto inicial: $ x_0 = 1 $, $ y_0 = 4 $
  • Passo $ h = 1 $
  • Função $ f(x, y) = x \sqrt{y} $
Agora, vamos aplicar a fórmula do Método de Euler para encontrar $ y_1 $ em $ x_1 = x_0 + h = 2 $. Mas o intervalo que a gente quer é até $ x = 1,5 $, então na verdade precisamos ajustar o passo para $ h = 0,5 $ para não passar do intervalo. Vamos usar $ h = 0,5 $.

Passo 4

Calculando $ f(x_0, y_0) $:
f(x0, y0)
Agora aplicamos o Método de Euler:
f(1, 4) = 1 cdot raiz4 = 1 cdot 2 = 2
Então, depois do primeiro passo, temos $ y_1 = 5 $ em $ x_1 = 1,5 $.

Resposta

A aproximação pelo Método de Euler nos dá $ y(1,5) \approx 5 $. Observando as alternativas, a mais próxima de 5 é a alternativa A) 5,77659.

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