Considerando a função f: Omega R dada por f(x)=e^-x^2, responda as questões abaixo:
  1. Determine o domínio Omega;
  2. Calcule os limites abaixo:
lim x infty f(x) ; lim x -infty f(x) ;
  1. Determine os intervalos onde f^prime(x)>0 e onde f^prime(x)<0;
  2. Determine os intervalos onde f^prime prime(x)>0 e onde f^prime prime(x)<0
  3. Use as informações acima para esboçar o gráfico de f.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que você me mandou! A gente tem a função $ f(x) = e{-x{2}} $ e precisamos resolver cinco questões sobre ela. Vamos usar conceitos de domínio de função, limites, derivadas primeira e segunda, e análise gráfica. Vamos por partes!

Passo 2

1. Determinar o domínio $ \Omega $
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. A função $ f(x) = e{-x{2}} $ é uma função exponencial.
Sabemos que a função exponencial $ e^u $ está definida para todo número real $ u $. No nosso caso, $ u = -x^{2} $.
Como $ x^{2} $ está definido para todo $ x $ real e, portanto, $ u = -x^{2} $ também está definido para todo $ x $ real, concluímos que o domínio $ \Omega $ é:
Omega

Passo 3

2. Calcular os limites: $ \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) $ e $ \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) $
Vamos calcular cada limite separadamente:
  • Para $ x \rightarrow \infty $:
limx infty f(x)
Quando $ x $ tende ao infinito, $ x^{2} $ também tende ao infinito, então $ -x^{2} $ tende a menos infinito. Sabemos que $ e{-x{2}} $ tende a 0 quando o expoente vai para menos infinito. Portanto:
limx -infty f(x)
  • Para $ x \rightarrow -\infty $:
O mesmo raciocínio se aplica. $ x^{2} $ é sempre positivo, então $ -x^{2} $ tende a menos infinito mesmo quando $ x $ vai para menos infinito. Assim:
x infty

Passo 4

3. Determinar os intervalos onde $ f’(x) > 0 $ e onde $ f’(x) < 0 $
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira de $ f(x) $.
f'(x) > 0
Agora, queremos saber onde $ f’(x) $ é positiva ou negativa.
  • Onde $ f’(x) > 0 $:
f'(x) < 0
Como $ e{-x{2}} $ é sempre positivo, a desigualdade depende do sinal de $ -2x $.
f(x)
Portanto, $ f’(x) > 0 $ quando $ x < 0 $.
  • Onde $ f’(x) < 0 $:
f(x) = e^-x^2 f'(x) = ddx e^-x^2 = e^-x^2 cdot (-2x) = -2x e^-x^2
Então, $ f’(x) < 0 $ quando $ x > 0 $.

Passo 5

4. Determinar os intervalos onde $ f’’(x) > 0 $ e onde $ f’’(x) < 0 $
Vamos calcular a derivada segunda de $ f(x) $.
Sabemos que:
f''(x) > 0
Agora, derivamos novamente:
f''(x) < 0
Queremos saber onde $ f’’(x) > 0 $ e onde $ f’’(x) < 0 $.
  • Onde $ f’’(x) > 0 $:
f(x)
Como $ e{-x{2}} > 0 $ para todo $ x $, a desigualdade depende de $ 4x^{2} - 2 > 0 $:
f'(x) = -2x e^-x^2
Portanto, $ f’’(x) > 0 $ quando $ x < -\frac{\sqrt{2}}{2} $ ou $ x > \frac{\sqrt{2}}{2} $.
  • Onde $ f’’(x) < 0 $:
f''(x) = ddx (-2x e^-x^2) = -2 e^-x^2 + (-2x) cdot (-2x) e^-x^2 (usando a regra do produto) = -2 e^-x^2 + 4x^2 e^-x^2 = e^-x^2 (4x^2 - 2)
Então, $ f’’(x) < 0 $ quando $ -\frac{\sqrt{2}}{2} < x < \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Passo 6

5. Esboçar o gráfico de $ f $ usando as informações acima
Com as informações que obtivemos:
  • Domínio: $ \mathbb{R} $
  • Limites em infinito: $ f(x) $ tende a 0 quando $ x $ vai para $ \pm\infty $
  • Crescimento e decrescimento:
    • Cresce quando $ x < 0 $
    • Decresce quando $ x > 0 $
  • Concavidade:
    • Convexa ($ f’’(x) > 0 $) para $ |x| > \frac{\sqrt{2}}{2} $
    • Côncava ($ f’’(x) < 0 $) para $ |x| < \frac{\sqrt{2}}{2} $
Isso indica que a função tem um ponto de máximo em $ x = 0 $ (já que está crescendo para a esquerda e decrescendo para a direita) e muda de concavidade nos pontos $ x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Então, o gráfico de $ f(x) = e{-x{2}} $ é uma curva em forma de sino, simétrica em relação ao eixo y, que atinge seu pico em $ x = 0 $ e se aproxima de 0 nos extremos.

Resposta

Seguindo os passos acima, concluímos que:
  1. Domínio: $ \Omega = \mathbb{R} $.
  2. Limites: Omega = R
  3. Derivada primeira:
    • $ f’(x) > 0 $ para $ x < 0 $.
    • $ f’(x) < 0 $ para $ x > 0 $.
  4. Derivada segunda:
    • $ f’’(x) > 0 $ para $ x < -\frac{\sqrt{2}}{2} $ e $ x > \frac{\sqrt{2}}{2} $.
    • $ f’’(x) < 0 $ para $ -\frac{\sqrt{2}}{2} < x < \frac{\sqrt{2}}{2} $.
  5. Gráfico: A função $ f(x) = e{-x{2}} $ é uma curva em forma de sino, simétrica em relação ao eixo y, com um ponto de máximo em $ x = 0 $ e se aproximando de 0 nos extremos.

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