Considerando a função
dada por
, responda as questões abaixo:
- Determine o domínio
;
- Calcule os limites abaixo:
- Determine os intervalos onde
e onde
;
- Determine os intervalos onde
e onde
- Use as informações acima para esboçar o gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que você me mandou! A gente tem a função $ f(x) = e{-x{2}} $ e precisamos resolver cinco questões sobre ela. Vamos usar conceitos de domínio de função, limites, derivadas primeira e segunda, e análise gráfica. Vamos por partes!
Passo 2
1. Determinar o domínio $ \Omega $
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. A função $ f(x) = e{-x{2}} $ é uma função exponencial.
Sabemos que a função exponencial $ e^u $ está definida para todo número real $ u $. No nosso caso, $ u = -x^{2} $.
Como $ x^{2} $ está definido para todo $ x $ real e, portanto, $ u = -x^{2} $ também está definido para todo $ x $ real, concluímos que o domínio $ \Omega $ é:
Passo 3
2. Calcular os limites: $ \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) $ e $ \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) $
Vamos calcular cada limite separadamente:
- Para $ x \rightarrow \infty $:
Quando $ x $ tende ao infinito, $ x^{2} $ também tende ao infinito, então $ -x^{2} $ tende a menos infinito. Sabemos que $ e{-x{2}} $ tende a 0 quando o expoente vai para menos infinito. Portanto:
- Para $ x \rightarrow -\infty $:
O mesmo raciocínio se aplica. $ x^{2} $ é sempre positivo, então $ -x^{2} $ tende a menos infinito mesmo quando $ x $ vai para menos infinito. Assim:
Passo 4
3. Determinar os intervalos onde $ f’(x) > 0 $ e onde $ f’(x) < 0 $
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira de $ f(x) $.
Agora, queremos saber onde $ f’(x) $ é positiva ou negativa.
- Onde $ f’(x) > 0 $:
Como $ e{-x{2}} $ é sempre positivo, a desigualdade depende do sinal de $ -2x $.
Portanto, $ f’(x) > 0 $ quando $ x < 0 $.
- Onde $ f’(x) < 0 $:
Então, $ f’(x) < 0 $ quando $ x > 0 $.
Passo 5
4. Determinar os intervalos onde $ f’’(x) > 0 $ e onde $ f’’(x) < 0 $
Vamos calcular a derivada segunda de $ f(x) $.
Sabemos que:
Agora, derivamos novamente:
Queremos saber onde $ f’’(x) > 0 $ e onde $ f’’(x) < 0 $.
- Onde $ f’’(x) > 0 $:
Como $ e{-x{2}} > 0 $ para todo $ x $, a desigualdade depende de $ 4x^{2} - 2 > 0 $:
Portanto, $ f’’(x) > 0 $ quando $ x < -\frac{\sqrt{2}}{2} $ ou $ x > \frac{\sqrt{2}}{2} $.
- Onde $ f’’(x) < 0 $:
Então, $ f’’(x) < 0 $ quando $ -\frac{\sqrt{2}}{2} < x < \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Passo 6
5. Esboçar o gráfico de $ f $ usando as informações acima
Com as informações que obtivemos:
- Domínio: $ \mathbb{R} $
- Limites em infinito: $ f(x) $ tende a 0 quando $ x $ vai para $ \pm\infty $
- Crescimento e decrescimento:
- Cresce quando $ x < 0 $
- Decresce quando $ x > 0 $
- Concavidade:
- Convexa ($ f’’(x) > 0 $) para $ |x| > \frac{\sqrt{2}}{2} $
- Côncava ($ f’’(x) < 0 $) para $ |x| < \frac{\sqrt{2}}{2} $
Isso indica que a função tem um ponto de máximo em $ x = 0 $ (já que está crescendo para a esquerda e decrescendo para a direita) e muda de concavidade nos pontos $ x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Então, o gráfico de $ f(x) = e{-x{2}} $ é uma curva em forma de sino, simétrica em relação ao eixo y, que atinge seu pico em $ x = 0 $ e se aproxima de 0 nos extremos.
Resposta
Seguindo os passos acima, concluímos que:
- Domínio: $ \Omega = \mathbb{R} $.
- Limites:
- Derivada primeira:
- $ f’(x) > 0 $ para $ x < 0 $.
- $ f’(x) < 0 $ para $ x > 0 $.
- Derivada segunda:
- $ f’’(x) > 0 $ para $ x < -\frac{\sqrt{2}}{2} $ e $ x > \frac{\sqrt{2}}{2} $.
- $ f’’(x) < 0 $ para $ -\frac{\sqrt{2}}{2} < x < \frac{\sqrt{2}}{2} $.
- Gráfico: A função $ f(x) = e{-x{2}} $ é uma curva em forma de sino, simétrica em relação ao eixo y, com um ponto de máximo em $ x = 0 $ e se aproximando de 0 nos extremos.