Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty 2 cdot 4 cdot 6 cdots cdots(2 n)n!

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série sumn=1^infty 2cdot4cdot6cdots(2n)n! converge ou diverge usando o Teste da Razão. O conteúdo envolvido é séries infinitas e o critério de convergência pelo Teste da Razão.

Passo 2

O Teste da Razão diz que, para uma série de termos an, calculamos L=limntoinfty l|an+1/anr|. Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; e se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar o teste à nossa série. Primeiro, definimos o termo geral:
an = 2cdot4cdot6cdots(2n)n!
Em seguida, formamos a razão entre an+1 e an:
an+1an = 2cdot4cdotcdotscdot(2n)cdot2(n+1)(n+1)! g/ 2cdot4cdotcdotscdot(2n)n! = 2(n+1),n!(n+1)! = 2
Portanto, o limite é
L = limntoinfty |an+1an| = 2

Passo 4

Como L = 2 > 1, o Teste da Razão garante que a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Razão, pois o limite da razão é 2>1.

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