Esboce o gráfico de uma função
que possui as seguintes propriedades:
- Domínio
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- Imagem
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nos intervalos
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nos intervalos
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nos intervalos
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nos intervalos
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa esboçar o gráfico de uma função $ f $ que tem várias propriedades específicas. Isso envolve entender conceitos de domínio e imagem da função, limites, derivadas primeira e segunda. Vou te guiar passo a passo para construir esse gráfico de forma tranquila.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. Aqui, o domínio é $ \mathbb{R} \backslash {-1} $, ou seja, todos os números reais menos o valor $ x = -1 $. Isso significa que a função não está definida quando $ x = -1 $, o que pode indicar uma assíntota ou um buraco no gráfico nesse ponto.
Passo 3
Agora, vamos ver a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores de $ f(x) $. A imagem é $ (-\infty, 5] $, então a função nunca ultrapassa o valor 5. Isso indica que 5 é um máximo na função.
Passo 4
Vamos considerar os pontos específicos dados: $ f(2) = 5 $ e $ f(6) = 1 $. Esses pontos nos dão referências para marcar no gráfico. Sabemos que quando $ x = 2 $, o valor máximo de 5 ocorre, e quando $ x = 6 $, a função atinge o valor 1.
Passo 5
Vamos analisar os limites próximos a $ x = -1 $:
- $ \lim_{x \to -1^{-}} f(x) = 0 $: Isso quer dizer que, quando $ x $ se aproxima de -1 pela esquerda, o valor de $ f(x) $ se aproxima de 0.
- $ \lim_{x \to -1^{+}} f(x) = -\infty $: Aqui, quando $ x $ se aproxima de -1 pela direita, $ f(x) $ desce para menos infinito.
Isso sugere que há uma assimptota vertical em $ x = -1 $, com o gráfico se aproximando de 0 pela esquerda e indo para baixo sem limites pela direita.
Passo 6
Vamos observar os limites no infinito:
- $ \lim_{x \to -\infty} f(x) = -5 $: Quando $ x $ vai para menos infinito, $ f(x) $ se aproxima de -5. Isso indica uma assimptota horizontal em $ y = -5 $ à esquerda.
- $ \lim_{x \to \infty} f(x) = 3 $: Quando $ x $ vai para mais infinito, $ f(x) $ se aproxima de 3. Então, há outra assimptota horizontal em $ y = 3 $ à direita.
Passo 7
Vamos analisar as derivadas da função para entender o comportamento da inclinação e da concavidade:
-
Primeira derivada $ f’(x) $:
- $ f’(x) > 0 $ nos intervalos $ (-3, -1) $, $ (-1, 2) $, e $ (6, +\infty) $: Isso significa que a função está crescente nesses intervalos.
- $ f’(x) < 0 $ nos intervalos $ (-\infty, -3) $ e $ (2, 6) $: Aqui, a função está decrescente.
-
Segunda derivada $ f’’(x) $:
- $ f’’(x) > 0 $ nos intervalos $ (-5, -1) $ e $ (4, 8) $: A função é côncava para cima nesses intervalos.
- $ f’’(x) < 0 $ nos intervalos $ (-\infty, -5) $, $ (-1, 4) $, e $ (8, +\infty) $: A função é côncava para baixo aqui.
Passo 8
Com todas essas informações, vamos resumir os principais pontos para esboçar o gráfico:
- Domínio: Todos os $ x $ menos $ -1 $.
- Imagem: Valores de $ f(x) $ até 5.
- Pontos chave: $ (2, 5) $, $ (6, 1) $.
- Assimptotas:
- Vertical em $ x = -1 $.
- Horizontais em $ y = -5 $ e $ y = 3 $.
- Crescimento/Decrescimento: Cresce em $ (-3, -1) $, $ (-1, 2) $, $ (6, +\infty) $; Decresce em $ (-\infty, -3) $, $ (2, 6) $.
- Concavidade: Côncava para cima em $ (-5, -1) $, $ (4, 8) $; Côncava para baixo em $ (-\infty, -5) $, $ (-1, 4) $, $ (8, +\infty) $.
Passo 9
Vamos juntar tudo isso:
- À esquerda de $ x = -5 $, a função está decrescendo e côncava para baixo, se aproximando de $ y = -5 $.
- Entre $ x = -5 $ e $ x = -3 $, a função ainda está decrescendo, mas agora começa a se curvar para cima até $ x = -1 $.
- Perto de $ x = -1 $, há uma assimptota vertical. Pela esquerda, a função se aproxima de 0, e pela direita, desce para menos infinito.
- Entre $ x = -1 $ e $ x = 2 $, a função está crescendo e côncava para baixo até alcançar o ponto máximo em $ (2, 5) $.
- De $ x = 2 $ a $ x = 6 $, a função está decrescendo e côncava para baixo, indo até o ponto $ (6, 1) $.
- Após $ x = 6 $, a função começa a crescer novamente, côncava para cima, e se aproxima da assimptota horizontal $ y = 3 $ conforme $ x $ vai para o infinito.
Resposta
Com base nas propriedades dadas, o gráfico da função $ f $ possui uma assimptota vertical em $ x = -1 $, assimptotas horizontais em $ y = -5 $ e $ y = 3 $. A função atinge seu valor máximo de 5 no ponto $ (2, 5) $ e passa pelo ponto $ (6, 1) $. Ela é decrescente de $ (-\infty, -3) $ e $ (2, 6) $, e crescente em $ (-3, -1) $, $ (-1, 2) $, e $ (6, +\infty) $. A concavidade varia conforme os intervalos indicados, com trechos côncavos para cima e para baixo. Juntando tudo isso, o gráfico apresenta um comportamento que se alinha com todas as condições mencionadas, respeitando as tendências de crescimento, decrescimento, concavidade e os limites impostos.