Resolva os problemas abaixo.
f) Calcule o momento de inércia do cubo homogêneo 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1 e 0 <= z <= 1, em relação a um eixo que contém uma das arestas.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o momento de inércia de um cubo homogêneo de aresta 1 (região 0≤x,y,z≤1) em relação a um eixo que coincide com uma de suas arestas. O conteúdo é o momento de inércia de corpos contínuos e vamos precisar usar a definição via integral tripla de densidade uniforme.

Passo 2

A densidade de massa do cubo homogêneo é constante e dada por ρ = M/V, onde V = 1·1·1 = 1. Logo, ρ = M.

Passo 3

Escolhemos o eixo de rotação ao longo da aresta que fica em x=0 e y=0 (isto é, o eixo z passando pela aresta). A distância de um ponto (x,y,z) a esse eixo é r = √(x² + y²).

Passo 4

Pela definição, o momento de inércia é
I = integralV r^2 , dm = integral0^1 integral0^1 integral0^1 (x^2 + y^2),rho;dx,dy,dz
Integramos primeiro em z, o que só traz um fator de comprimento 1, pois não há z em (x²+y²):
I = rho integral0^1 integral0^1 (x^2 + y^2),dx,dy

Passo 5

Agora separamos a integral em x e y:
integral0^1 integral0^1 (x^2 + y^2),dx,dy = integral0^1 x^2,dx integral0^1 dy + integral0^1 y^2,dy integral0^1 dx = 13cdot 1 + 13cdot 1 = 23
Substituindo ρ = M e o valor da integral, obtemos
I = M cdot 23 = 2M3

Resposta

I = 2M3

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