Resolva os problemas abaixo.
f) Calcule o momento de inércia do cubo homogêneo
e
, em relação a um eixo que contém uma das arestas.
f) Calcule o momento de inércia do cubo homogêneo
Passo 1
O enunciado pede para calcular o momento de inércia de um cubo homogêneo de aresta 1 (região 0≤x,y,z≤1) em relação a um eixo que coincide com uma de suas arestas. O conteúdo é o momento de inércia de corpos contínuos e vamos precisar usar a definição via integral tripla de densidade uniforme.
Passo 2
A densidade de massa do cubo homogêneo é constante e dada por ρ = M/V, onde V = 1·1·1 = 1. Logo, ρ = M.
Passo 3
Escolhemos o eixo de rotação ao longo da aresta que fica em x=0 e y=0 (isto é, o eixo z passando pela aresta). A distância de um ponto (x,y,z) a esse eixo é r = √(x² + y²).
Passo 4
Pela definição, o momento de inércia é
Integramos primeiro em z, o que só traz um fator de comprimento 1, pois não há z em (x²+y²):
Passo 5
Agora separamos a integral em x e y:
Substituindo ρ = M e o valor da integral, obtemos