Um quadro de altura
está pendurado em uma parede vertical de modo que sua borda inferior está a uma altura h do raio de visão horizontal de um observador. A que distância da parede deve colocar-se o observador para que a sua posição seja a mais vantajosa para contemplar o quadro, isto é, para que o ângulo de visão seja máximo?
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
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Passo 1
Vamos resumir o problema e identificar o que precisamos para resolvê-lo. Temos um quadro de altura $ H $ pendurado numa parede vertical de forma que sua borda inferior está a uma altura $ h $ da linha de visão horizontal de um observador. Queremos descobrir a que distância da parede o observador deve se posicionar para que o ângulo de visão seja máximo.
Vamos precisar usar conceitos de trigonometria e cálculo, especificamente funções trigonométricas e derivadas, para otimizar o ângulo de visão.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a situação visualmente. Imagine que o observador está a uma distância $ x $ da parede. O quadro vai do ponto $ h $ até $ h + H $ em altura. O ângulo de visão $ \theta $ é formado entre a linha de visão inferior (até a borda inferior do quadro) e a linha de visão superior (até a borda superior do quadro).
Passo 3
Podemos expressar os ângulos de visão usando a função tangente:
Aqui, $ \theta_1 $ é o ângulo até o topo do quadro e $ \theta_2 $ é o ângulo até a base do quadro.
Passo 4
O ângulo de visão total $ \theta $ é a diferença entre esses dois ângulos:
Queremos maximizar esse ângulo $ \theta $, ou seja, encontrar o valor de $ x $ que faz $ \theta $ ser o maior possível.
Passo 5
Para encontrar o valor de $ x $ que maximiza $ \theta $, vamos derivar $ \theta $ em relação a $ x $ e igualar a derivada a zero:
Isso nos dará a posição onde o ângulo de visão é máximo.
Passo 6
Usando a regra da derivada para funções arctangente, temos:
Então, a derivada de $ \theta $ é:
Passo 7
Igualando a derivada a zero para encontrar o máximo:
Multiplicando ambos os lados pelos denominadores para eliminar as frações:
Passo 8
Expandindo e simplificando os termos:
Passo 9
Resolvendo para $ x^2 $:
Resposta
A distância ideal é $ x = \sqrt{h H} $, portanto a opção correta é $ \sqrt{h H + h^{2}} $.