Um quadro de altura H está pendurado em uma parede vertical de modo que sua borda inferior está a uma altura h do raio de visão horizontal de um observador. A que distância da parede deve colocar-se o observador para que a sua posição seja a mais vantajosa para contemplar o quadro, isto é, para que o ângulo de visão seja máximo?
Escolha uma opção:
raizH^2+h^2
H+h^2
raizH-h^2
h H-h^2
Nenhuma das demais alternativas
raizh H+h^2

Passo 1

Vamos resumir o problema e identificar o que precisamos para resolvê-lo. Temos um quadro de altura $ H $ pendurado numa parede vertical de forma que sua borda inferior está a uma altura $ h $ da linha de visão horizontal de um observador. Queremos descobrir a que distância da parede o observador deve se posicionar para que o ângulo de visão seja máximo.
Vamos precisar usar conceitos de trigonometria e cálculo, especificamente funções trigonométricas e derivadas, para otimizar o ângulo de visão.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a situação visualmente. Imagine que o observador está a uma distância $ x $ da parede. O quadro vai do ponto $ h $ até $ h + H $ em altura. O ângulo de visão $ \theta $ é formado entre a linha de visão inferior (até a borda inferior do quadro) e a linha de visão superior (até a borda superior do quadro).

Passo 3

Podemos expressar os ângulos de visão usando a função tangente:
tan(theta1) = h + Hx
tan(theta2) = hx
Aqui, $ \theta_1 $ é o ângulo até o topo do quadro e $ \theta_2 $ é o ângulo até a base do quadro.

Passo 4

O ângulo de visão total $ \theta $ é a diferença entre esses dois ângulos:
theta
Queremos maximizar esse ângulo $ \theta $, ou seja, encontrar o valor de $ x $ que faz $ \theta $ ser o maior possível.

Passo 5

Para encontrar o valor de $ x $ que maximiza $ \theta $, vamos derivar $ \theta $ em relação a $ x $ e igualar a derivada a zero:
x
Isso nos dará a posição onde o ângulo de visão é máximo.

Passo 6

Usando a regra da derivada para funções arctangente, temos:
dtheta1dx = -(h + H)x^2 + (h + H)^2
dtheta2dx = -hx^2 + h^2
Então, a derivada de $ \theta $ é:
theta

Passo 7

Igualando a derivada a zero para encontrar o máximo:
-(h + H)x^2 + (h + H)^2 + hx^2 + h^2 = 0
Multiplicando ambos os lados pelos denominadores para eliminar as frações:
- (h + H)(x^2 + h^2) + h(x^2 + (h + H)^2) = 0

Passo 8

Expandindo e simplificando os termos:
- (h + H)x^2 - (h + H)h^2 + h x^2 + h (h + H)^2 = 0
(-h - H + h)x^2 + (-h(h + H) + h(h + 2H + H^2)) = 0
- H x^2 + h H^2 = 0

Passo 9

Resolvendo para $ x^2 $:
x^2
- H x^2 + h H^2 = 0
H x^2 = h H^2
x^2 = h H

Resposta

A distância ideal é $ x = \sqrt{h H} $, portanto a opção correta é $ \sqrt{h H + h^{2}} $.

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