Considerando a função
Determine a quantidade de afirmativas verdadeiras com relação a essa função:
Escolha uma ou mais:
possui assíntota vertical em
;
não é contínua em todo o seu domínio;
possui assíntota horizontal em
;
é crescente em ( 0,2 );
é uma função par;
não tem reta tangente vertical;
é decrescente em
;
possui assíntota vertical em
não é contínua em todo o seu domínio;
possui assíntota horizontal em
é crescente em ( 0,2 );
é uma função par;
não tem reta tangente vertical;
é decrescente em
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para verificar várias propriedades: assíntota vertical em
, continuidade no domínio, assíntota horizontal, monotonicidade em certos intervalos, paridade, domínio correto e existência de reta tangente vertical.
Passo 2
Para achar o domínio basta exigir que o denominador seja diferente de zero:
Logo o domínio é
Passo 3
Assíntota vertical ocorre onde o denominador zera mas o numerador é não nulo. Aqui isso só acontece em
. Em
o denominador vale
, então não há assíntota vertical em
.
Passo 4
Assíntota horizontal é dada pelo limite de
quando
. Como os graus do numerador e do denominador são iguais e o quociente dos coeficientes líderes é
, temos
ou seja, há assíntota horizontal em
.
Passo 5
Para estudar monotonicidade calculamos a derivada, usando
:
Passo 6
Analisando o sinal de
:
- Em
: o numerador e o denominador , logo , ou seja, é crescente em . - Em
: e , então , isto é, é decrescente em . - Em
: e , logo , ou seja, é decrescente em .
Passo 7
Para testar paridade, comparamos
com
:
em geral, logo
não é par.
Passo 8
Funções racionais são contínuas em todo ponto do domínio, e em
a função não existe (é assíntota), portanto não há descontinuidade no restante do domínio e nem existe reta tangente vertical em ponto onde a função esteja definida.
Passo 9
Agora conferimos cada afirmativa:
– “assíntota vertical em ” ❌
– “não é contínua em todo o seu domínio” ❌
– “assíntota horizontal em ” ✅
– “é crescente em ” ✅
– “é função par” ❌
– “ ” ❌
– “não tem reta tangente vertical” ✅
– “é decrescente em ” ✅
– “assíntota vertical em
– “não é contínua em todo o seu domínio” ❌
– “assíntota horizontal em
– “é crescente em
– “é função par” ❌
– “
– “não tem reta tangente vertical” ✅
– “é decrescente em
Resposta
4