Considerando a função
f(x)=\frac{3 x^{2}}{4-4 x+x^{2}}
Determine a quantidade de afirmativas verdadeiras com relação a essa função:
Escolha uma ou mais:
possui assíntota vertical em x=5;
não é contínua em todo o seu domínio;
possui assíntota horizontal em y=3;
é crescente em ( 0,2 );
é uma função par;
D=(-\infty, 1) \cup(2, \infty) ;
não tem reta tangente vertical;
é decrescente em (-\infty, 0) \cup(2, \infty);

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{3x^2}{4-4x+x^2}
e pede para verificar várias propriedades: assíntota vertical em x=5, continuidade no domínio, assíntota horizontal, monotonicidade em certos intervalos, paridade, domínio correto e existência de reta tangente vertical.

Passo 2

Para achar o domínio basta exigir que o denominador seja diferente de zero:
4-4x+x^2=(x-2)^2\neq0\;\Longrightarrow\;x\neq2.
Logo o domínio é
D=(-\infty,2)\cup(2,\infty).

Passo 3

Assíntota vertical ocorre onde o denominador zera mas o numerador é não nulo. Aqui isso só acontece em x=2. Em x=5 o denominador vale 5^2-4\cdot5+4=9\neq0, então não há assíntota vertical em x=5.

Passo 4

Assíntota horizontal é dada pelo limite de f(x) quando x\to\pm\infty. Como os graus do numerador e do denominador são iguais e o quociente dos coeficientes líderes é 3/1, temos
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=3,
ou seja, há assíntota horizontal em y=3.

Passo 5

Para estudar monotonicidade calculamos a derivada, usando f(x)=3x^2(x-2)^{-2}:
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl[3x^2(x-2)^{-2}\bigr] =-\frac{12x}{(x-2)^3}.

Passo 6

Analisando o sinal de f'(x):
  • Em (0,2): o numerador -12x<0 e o denominador (x-2)^3<0, logo f'>0, ou seja, f é crescente em (0,2).
  • Em (-\infty,0): -12x>0 e (x-2)^3<0, então f'<0, isto é, f é decrescente em (-\infty,0).
  • Em (2,\infty): -12x<0 e (x-2)^3>0, logo f'<0, ou seja, f é decrescente em (2,\infty).

Passo 7

Para testar paridade, comparamos f(-x) com f(x):
f(-x)=\frac{3(-x)^2}{(-x-2)^2} =\frac{3x^2}{(x+2)^2}\neq\frac{3x^2}{(x-2)^2}=f(x)
em geral, logo f não é par.

Passo 8

Funções racionais são contínuas em todo ponto do domínio, e em x=2 a função não existe (é assíntota), portanto não há descontinuidade no restante do domínio e nem existe reta tangente vertical em ponto onde a função esteja definida.

Passo 9

Agora conferimos cada afirmativa:
– “assíntota vertical em x=5” ❌
– “não é contínua em todo o seu domínio” ❌
– “assíntota horizontal em y=3” ✅
– “é crescente em (0,2)” ✅
– “é função par” ❌
– “ D=(-\infty,1)\cup(2,\infty)” ❌
– “não tem reta tangente vertical” ✅
– “é decrescente em (-\infty,0)\cup(2,\infty)” ✅

Resposta

4

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