Calcular \iiint_{T} x y d x d y d z sendo T o sólido delimitado interior ao cilindro x^{2}+y^{2}=4 e pelos planos z=1 e z=3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{T} x\,y \,dx\,dy\,dz
onde T é o sólido limitado pelo cilindro x^{2}+y^{2}=4 e pelos planos z=1 e z=3.
O conteúdo principal aqui é integral tripla em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dV = r\,dr\,d\theta\,dz,
com 0\le r\le2, 0\le\theta\le2\pi e 1\le z\le3.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\iiint_{T} x\,y \,dV = \int_{z=1}^{3}\!\int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{r=0}^{2} (r\cos\theta)(r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta\,dz = \int_{1}^{3}\!\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2}r^{3}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 4

Primeiro integramos em r:
\int_{0}^{2}r^{3}\,dr = \frac{r^{4}}{4}\Big|_{0}^{2} = 4.
Depois em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta =\frac12\int_{0}^{2\pi}\sin(2\theta)\,d\theta = 0.
Como o fator angular anula, toda a integral vale zero.

Resposta

0

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