Calcular a área da superfície delimitada pelas curvas de equações cartesianas:
y=9-x^{2} \text { e } y=5

Passo 1

O enunciado pede a área da região do plano limitada pela parábola
y = 9 - x^{2}
e pela reta horizontal
y = 5.
O conteúdo envolvido é cálculo de área de região plano via integração, e vamos precisar:
  1. Encontrar os pontos de interseção das curvas.
  2. Expressar a área como \displaystyle \int (y_{\text{superior}} - y_{\text{inferior}})\,dx.

Passo 2

Determinar os limites em x resolvendo
9 - x^{2} = 5.
Isso dá
x^{2} = 4 \quad\Longrightarrow\quad x = -2,\;2.
Logo a região está entre x=-2 e x=2.

Passo 3

Para cada x nessa faixa, a curva superior é y_{\text{sup}}=9 - x^{2} e a inferior é y_{\text{inf}}=5. Assim a área A é
A = \int_{x=-2}^{2}\bigl[(9 - x^{2}) - 5\bigr]\,dx = \int_{-2}^{2}(4 - x^{2})\,dx.

Passo 4

A função integrando, 4 - x^{2}, é par. Podemos usar simetria:
A = 2\int_{0}^{2}(4 - x^{2})\,dx.
Calculemos a primitiva:
\int(4 - x^{2})\,dx = 4x - \frac{x^{3}}{3}.
Então
A = 2\Bigl[\,4x - \frac{x^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{2} = 2\Bigl(4\cdot2 - \frac{2^{3}}{3}\Bigr) = 2\Bigl(8 - \frac{8}{3}\Bigr) = 2\cdot\frac{16}{3} = \frac{32}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{32}{3}

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