Considerando a função f(x)=x^2 ln x, marque as afirmativas verdadeiras:
A função possui assíntota vertical em x=0;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função f(x)=x²
l
x tem assíntota vertical em x=0. O conteúdo é comportamento de funções e definição de assíntota vertical (f(x)→±∞ quando x→a). Vamos precisar estudar o limite de f(x) quando x→0⁺.

Passo 2

O domínio de f é (0,+∞), então faz sentido analisar x→0⁺. Observamos que ao tentar f(x)=x²
l
x em x→0⁺ obtemos a forma indeterminada 0·(−∞). Para tratar, convertemos para quociente. Reescrevemos a função como quociente e aplicamos a regra de l’Hôpital:
Para calcular limxto0^+ x^2ln x, escrevemos
ln x1/x^2
e aplicamos l’Hôpital:
limxto0^+d(ln x)/dxd(1/x^2)/dx =limxto0^+1/x-2/x^3 =limxto0^+l(-x^22r) =0

Passo 3

Como o limite é 0 (não ±∞), não há comportamento de assíntota vertical em x=0.

Resposta

A afirmativa é falsa.

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