Mostre que se um corpo estiver sujeito à forças conservativas, implicará na relação
onde
é conhecido como energia mecânica do sistema.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se um corpo está sujeito apenas a forças conservativas, então vale a relação
onde
é a energia mecânica do sistema.
Informações dadas (que usaremos):
Informações dadas (que usaremos):
- Há um corpo de massa
com velocidade e posição . - As forças que atuam são conservativas. Isso significa que existe uma função escalar
chamada energia potencial tal que a força é dada por uma relação entre e .
O objetivo explícito: partir dessas hipóteses mostrar, passo a passo, que a quantidadeé uma constante ao longo do tempo (ou seja, é conservada).
Passo 2
Definições e ferramentas que vamos usar (explicadas de leve, sem pular etapas):
- Velocidade e aceleração:
e . - Segunda lei de Newton: a força resultante
sobre a massa satisfaz
Aqui
é vetor força,
é vetor aceleração.
- Força conservativa: existe uma função escalar
tal que
Explicando
: é o vetor de derivadas parciais de
, e dá a taxa de variação espacial de
. Em componentes,
.
- Produto escalar e regra da cadeia: se
é função da posição , então a derivada temporal de é dada por
Isto é a regra da cadeia aplicada a funções compostas (função de
avaliadas numa trajetória).
Passo 3
Transformação útil: multiplicar a equação de Newton escalarmente por
. Começo com
Tomando produto escalar com
dos dois lados:
Vou mostrar por que o lado esquerdo se relaciona com a derivada do termo cinético.
Passo 4
Cálculo do lado esquerdo como derivada do termo cinético. Use que
e que
Agora, pela regra do produto para derivadas (ou observando que
), obtemos
Como
, podemos reescrever
Portanto o lado esquerdo da igualdade do Passo 3 é exatamente a derivada temporal da energia cinética
:
Passo 5
Cálculo do lado direito usando que a força é conservativa. Pelo Passo 3 temos
no lado direito; usando
obtemos
Pela regra da cadeia do Passo 2,
. Logo
Isto tem uma interpretação clara: a taxa de variação da energia potencial ao longo da trajetória é negativa do trabalho por unidade de tempo efetuado pela força.
Passo 6
Combinar os resultados dos Passos 4 e 5. Da igualdade do Passo 3 e das expressões obtidas:
Somando
em ambos os lados:
Agrupando:
Isto significa que a quantidade dentro da derivada é constante no tempo. Ou seja, existe uma constante
tal que, para todo
,
Passo 7
Interpretação e observações práticas (para a prova, tipo “macete”):
- A dedução básica é: use Newton
, multiplique por , identifique que é e que é quando é conservativa. Isso dá . - Em provas, costuma-se lembrar a versão rápida: “força conservativa
existe com ; então por Newton”. Mas cuidado: explique cada passo se pedirem. - Limitações: se houver forças não-conservativas (atrito, força dependente da velocidade não derivável de um potencial), esse argumento falha e
não é constante (parte da energia vira calor, por exemplo). - Exemplo simples: mola com constante
, tem potencial . Então
que é a energia do oscilador harmônico — bom exercício para checar a dedução.