Mostre que se um corpo estiver sujeito à forças conservativas, implicará na relação
E=\frac{m v^{2}}{2}+U
onde E é conhecido como energia mecânica do sistema.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se um corpo está sujeito apenas a forças conservativas, então vale a relação
E=\frac{m v^{2}}{2}+U,
onde E é a energia mecânica do sistema.
Informações dadas (que usaremos):
  • Há um corpo de massa m com velocidade \mathbf{v}(t) e posição \mathbf{r}(t).
  • As forças que atuam são conservativas. Isso significa que existe uma função escalar U(\mathbf{r}) chamada energia potencial tal que a força é dada por uma relação entre \mathbf{F} e U.
    O objetivo explícito: partir dessas hipóteses mostrar, passo a passo, que a quantidade \dfrac{m v^{2}}{2}+U(\mathbf{r}) é uma constante ao longo do tempo (ou seja, é conservada).

Passo 2

Definições e ferramentas que vamos usar (explicadas de leve, sem pular etapas):
  • Velocidade e aceleração: \mathbf{v}=\dfrac{d\mathbf{r}}{dt} e \mathbf{a}=\dfrac{d\mathbf{v}}{dt}.
  • Segunda lei de Newton: a força resultante \mathbf{F} sobre a massa m satisfaz
m\mathbf{a}=\mathbf{F}.
Aqui \mathbf{F} é vetor força, \mathbf{a} é vetor aceleração.
  • Força conservativa: existe uma função escalar U(\mathbf{r}) tal que
\mathbf{F}(\mathbf{r})=-\nabla U(\mathbf{r}).
Explicando \nabla U: é o vetor de derivadas parciais de U, e dá a taxa de variação espacial de U. Em componentes, \nabla U=(\partial U/\partial x,\partial U/\partial y,\partial U/\partial z).
  • Produto escalar e regra da cadeia: se U é função da posição \mathbf{r}(t), então a derivada temporal de U(\mathbf{r}(t)) é dada por
\frac{d}{dt}U(\mathbf{r}(t))=\nabla U(\mathbf{r}(t))\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\nabla U\cdot\mathbf{v}.
Isto é a regra da cadeia aplicada a funções compostas (função de x,y,z avaliadas numa trajetória).

Passo 3

Transformação útil: multiplicar a equação de Newton escalarmente por \mathbf{v}. Começo com
m\mathbf{a}=\mathbf{F}.
Tomando produto escalar com \mathbf{v} dos dois lados:
m\mathbf{a}\cdot\mathbf{v}=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}.
Vou mostrar por que o lado esquerdo se relaciona com a derivada do termo cinético.

Passo 4

Cálculo do lado esquerdo como derivada do termo cinético. Use que \mathbf{a}=\dfrac{d\mathbf{v}}{dt} e que
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}\right)=\frac{1}{2}m\frac{d}{dt}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}).
Agora, pela regra do produto para derivadas (ou observando que \dfrac{d}{dt}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v})=2\mathbf{v}\cdot\dfrac{d\mathbf{v}}{dt}), obtemos
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}\right)=m\mathbf{v}\cdot\frac{d\mathbf{v}}{dt}=m\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}.
Como \mathbf{v}\cdot\mathbf{v}=v^{2}, podemos reescrever
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m v^{2}\right)=m\mathbf{a}\cdot\mathbf{v}.
Portanto o lado esquerdo da igualdade do Passo 3 é exatamente a derivada temporal da energia cinética T=\dfrac{1}{2}m v^{2}:
m\mathbf{a}\cdot\mathbf{v}=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m v^{2}\right).

Passo 5

Cálculo do lado direito usando que a força é conservativa. Pelo Passo 3 temos \mathbf{F}\cdot\mathbf{v} no lado direito; usando \mathbf{F}=-\nabla U obtemos
\mathbf{F}\cdot\mathbf{v} = -\nabla U\cdot\mathbf{v}.
Pela regra da cadeia do Passo 2, \nabla U\cdot\mathbf{v}=\dfrac{d}{dt}U(\mathbf{r}(t)). Logo
\mathbf{F}\cdot\mathbf{v} = -\frac{d}{dt}U(\mathbf{r}(t)).
Isto tem uma interpretação clara: a taxa de variação da energia potencial ao longo da trajetória é negativa do trabalho por unidade de tempo efetuado pela força.

Passo 6

Combinar os resultados dos Passos 4 e 5. Da igualdade do Passo 3 e das expressões obtidas:
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m v^{2}\right)= -\frac{d}{dt}U(\mathbf{r}(t)).
Somando \dfrac{d}{dt}U em ambos os lados:
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m v^{2}\right)+\frac{d}{dt}U(\mathbf{r}(t))=0.
Agrupando:
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m v^{2}+U(\mathbf{r}(t))\right)=0.
Isto significa que a quantidade dentro da derivada é constante no tempo. Ou seja, existe uma constante E tal que, para todo t,
E=\frac{1}{2}m v^{2}+U(\mathbf{r}(t)).

Passo 7

Interpretação e observações práticas (para a prova, tipo “macete”):
  • A dedução básica é: use Newton m\mathbf{a}=\mathbf{F}, multiplique por \mathbf{v}, identifique que m\mathbf{a}\cdot\mathbf{v} é dT/dt e que \mathbf{F}\cdot\mathbf{v} é -dU/dt quando \mathbf{F} é conservativa. Isso dá d(T+U)/dt=0.
  • Em provas, costuma-se lembrar a versão rápida: “força conservativa \Rightarrow existe U com \mathbf{F}=-\nabla U; então d/dt(T+U)=\mathbf{v}\cdot(m\mathbf{a}-\mathbf{F})=0 por Newton”. Mas cuidado: explique cada passo se pedirem.
  • Limitações: se houver forças não-conservativas (atrito, força dependente da velocidade não derivável de um potencial), esse argumento falha e T+U não é constante (parte da energia vira calor, por exemplo).
  • Exemplo simples: mola com constante k, \mathbf{F}=-k x\hat{\mathbf{x}} tem potencial U=\tfrac{1}{2}k x^{2}. Então
E=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}+\frac{1}{2}k x^{2}=\text{constante},
que é a energia do oscilador harmônico — bom exercício para checar a dedução.

Resposta

E=\frac{m v^{2}}{2}+U=\text{constante}

Exercícios relacionados