Questão 1. Verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes:
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede para verificar se ela é convergente ou divergente. Informação relevante que temos: a expressão do
-ésimo termo é
. Não há outras condições ou parâmetros ocultos.
Passo 2
Vamos lembrar de um teste básico e muito útil (e que eu sempre uso quando o termo geral é fácil de analisar): o teste do termo geral (ou teste da divergência). Ele diz o seguinte:
Por que isso é verdade? Explico de forma simples: se a série
convergisse, suas somas parciais
tenderiam a um número finito
. Então
tenderia a
. Logo, um limite diferente de zero impede a convergência da série. Esse resultado é apenas uma condição necessária (se convergir, o termo vai a zero), mas é suficiente para detectar muitas divergências rápidas.
Passo 3
Calculemos o limite do termo geral
. Para isso divido numerador e denominador por
:
Agora faço
. Como
, segue que
Portanto o termo geral não tende a zero; tende a
.
Passo 4
Aplicando o teste do termo geral: visto que
concluímos que a série
diverge. (Intuitivamente, os termos permanecem perto de
, logo as somas parciais crescem sem limite — pense em somar muitas vezes um número próximo de
.)
Passo 5
Resumo curto e motivador: você não precisa fazer contas complicadas aqui; basta verificar o limite do termo. Quando o termo não vai a zero, a série não tem a menor chance de convergir. Boa — uma questão resolvida rápido e com segurança!
Resposta
A série
diverge.