Questão 1. Verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n}{3 n+5}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n}{3 n+5}
e pede para verificar se ela é convergente ou divergente. Informação relevante que temos: a expressão do n-ésimo termo é a_n=\dfrac{2n}{3n+5}. Não há outras condições ou parâmetros ocultos.

Passo 2

Vamos lembrar de um teste básico e muito útil (e que eu sempre uso quando o termo geral é fácil de analisar): o teste do termo geral (ou teste da divergência). Ele diz o seguinte:
\text{Se } \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 \text{ então } \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ diverge.}ã
Por que isso é verdade? Explico de forma simples: se a série \sum a_n convergisse, suas somas parciais s_N=\sum_{n=1}^{N} a_n tenderiam a um número finito S. Então a_N = s_N - s_{N-1} tenderia a S-S=0. Logo, um limite diferente de zero impede a convergência da série. Esse resultado é apenas uma condição necessária (se convergir, o termo vai a zero), mas é suficiente para detectar muitas divergências rápidas.

Passo 3

Calculemos o limite do termo geral a_n. Para isso divido numerador e denominador por n:
a_n=\frac{2n}{3n+5}=\frac{2}{3+\dfrac{5}{n}}.
Agora faço n\to\infty. Como \dfrac{5}{n}\to 0, segue que
\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{3+\dfrac{5}{n}}=\frac{2}{3+0}=\frac{2}{3}.
Portanto o termo geral não tende a zero; tende a \dfrac{2}{3}.

Passo 4

Aplicando o teste do termo geral: visto que
\lim_{n\to\infty} a_n=\frac{2}{3}\neq 0,
concluímos que a série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{2n}{3n+5} diverge. (Intuitivamente, os termos permanecem perto de \tfrac{2}{3}, logo as somas parciais crescem sem limite — pense em somar muitas vezes um número próximo de \tfrac{2}{3}.)

Passo 5

Resumo curto e motivador: você não precisa fazer contas complicadas aqui; basta verificar o limite do termo. Quando o termo não vai a zero, a série não tem a menor chance de convergir. Boa — uma questão resolvida rápido e com segurança!

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n}{3 n+5} diverge.

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