Considerando z como função de x e y (ou seja, z=f(x, y) ) use derivação implícita para calcular partial z / partial x e partial z / partial y nos seguinte casos:
2 x y z^2+x^2+y^3=5

Passo 1

A equação dada é
Temos a equação implícita
2 x y z^2 + x^2 + y^3 = 5
onde z=f(x,y). O conteúdo aqui é derivação implícita para obter as derivadas parciais partial z/partial x e partial z/partial y. Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia, já que “ z” aparece elevada ao quadrado.

Passo 2

Para calcular partial z/partial x, derivamos cada termo em relação a x, tratando y como constante e lembrando que z depende de x. No termo 2 x y z^2 usamos regra do produto (entre 2xy e z^2) e regra da cadeia (no z^2):
partialpartial x(2 x y z^2) =partialpartial x(2 x y)cdot z^2 + 2 x y cdot partialpartial x(z^2) =2 y z^2 + 2 x y cdot 2 z partial zpartial x =2 y z^2 + 4 x y z partial zpartial x
Derivando os outros termos e somando toda a expressão, obtemos
2 y z^2 + 4 x y z partial zpartial x + 2 x = 0

Passo 3

Isolando partial z/partial x na equação anterior, temos
4 x y z partial zpartial x = -l(2 y z^2 + 2 xr)
e portanto
partial zpartial x = -2 y z^2 + 2 x4 x y z = -y z^2 + x2 x y z

Passo 4

Para calcular partial z/partial y, derivamos cada termo em relação a y, agora tratando x como constante. No termo 2 x y z^2 aplicamos novamente regra do produto e da cadeia:
partialpartial y(2 x y z^2) =2 x z^2 + 2 x y cdot 2 z partial zpartial y =2 x z^2 + 4 x y z partial zpartial y
Somando com a derivada de y^3 que é 3y^2 e lembrando que x^2 é constante em relação a y, a equação fica:
2 x z^2 + 4 x y z partial zpartial y + 3 y^2 = 0

Passo 5

Isolando partial z/partial y dessa última igualdade, encontramos
4 x y z partial zpartial y = -l(2 x z^2 + 3 y^2r)
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partial zpartial y = -2 x z^2 + 3 y^24 x y z

Resposta

(\partial z/\partial x = -\tfrac{y z^2 + x}{2 x y z}, \quad \partial z/\partial y = -\tfrac{2 x z^2 + 3 y^2}{4 x y z})

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