Exercício 6 Dê os domínios e esboce os gráficos de f+g e gf:
f(x)=x e g(x)=1raizx

Passo 1

Temos as funções f(x)=x e g(x)=1raizx. Vamos determinar domínios e esboçar os gráficos de f+g e gf, usando conceitos de soma e quociente de funções, interseção de domínios e análise de comportamento.

Passo 2

O domínio de f é R e de g é xinRmid x>0. Logo o domínio de f+g é Rcap(0,infty)=(0,infty). Para gf, devemos também excluir zeros de f, mas f(x)=0 só em x=0, já fora de (0,infty). Então o domínio de gf é também (0,infty).

Passo 3

Para esboçar f+g, escrevemos
(f+g)(x)=x+x^-1/2
Quando xto0^+, x^-1/2to+infty, então f+gto+infty. Quando xtoinfty, x^-1/2to0 e f+gsim x. A derivada é
(f+g)'(x)=1-tfrac12x^-3/2,
que se anula em x=(tfrac12)^2/3=2^-2/3. Nesse ponto há um mínimo local de valor 2^-2/3+2^1/3. Portanto o gráfico decresce de +infty até esse mínimo e depois cresce quase linearmente.

Passo 4

Para tfracgf, temos
gf(x)=x^-3/2
Quando xto0^+, x^-3/2to+infty; quando xtoinfty, x^-3/2to0^+. É uma função sempre decrescente e convexa, partindo de +infty em x=0^+ e aproximando de 0 conforme xtoinfty.

Resposta

Domínio de f+g: (0,infty). Domínio de tfracgf: (0,infty). Gráfico de f+g: curva definida para x>0 que tende a +infty em xto0^+, apresenta mínimo em x=2^-2/3 com valor 2^-2/3+2^1/3, e cresce quase linearmente para +infty em xtoinfty. Gráfico de tfracgf: função y=x^-3/2, definida para x>0, decrescente de +infty em xto0^+ até 0 em xtoinfty, com forma convexa.

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