Determine as partes real
e imaginária
de cada uma das funções
abaixo:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar a parte real u(x,y)=Re f(z) e a parte imaginária v(x,y)=Im f(z) da função f(z)=z²−5z+3. O conteúdo é decompor uma função de variável complexa em suas partes real e imaginária, e vamos precisar escrever z como x+iy e usar álgebra de números complexos.
Passo 2
Escrevendo z em termos de x e y, temos z=x+iy. Então vamos calcular cada termo de f(z):
O quadrado de z é
E o termo −5z fica
Somando tudo e lembrando do +3 (que é real), obtemos
Organizando em parte real e imaginária:
Passo 3
Agrupando a parte sem i como u(x,y) e a parte que multiplica i como v(x,y), temos
Resposta
u(x,y)=x^2 - y^2 - 5x + 3, v(x,y)=2xy - 5y