Determine as partes real u(x, y)=Re f(z) e imaginária v(x, y)=Im f(z) de cada uma das funções f: C C abaixo:
(a) f(z)=z^2-5 z+3

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar a parte real u(x,y)=Re f(z) e a parte imaginária v(x,y)=Im f(z) da função f(z)=z²−5z+3. O conteúdo é decompor uma função de variável complexa em suas partes real e imaginária, e vamos precisar escrever z como x+iy e usar álgebra de números complexos.

Passo 2

Escrevendo z em termos de x e y, temos z=x+iy. Então vamos calcular cada termo de f(z):
O quadrado de z é
(x+iy)^2=x^2-y^2+2i,x y
E o termo −5z fica
-5(x+iy)=-5x-5i,y
Somando tudo e lembrando do +3 (que é real), obtemos
f(z)=l(x^2-y^2r)+2i,x y;+ l(-5x-5i,yr)+3
Organizando em parte real e imaginária:

Passo 3

Agrupando a parte sem i como u(x,y) e a parte que multiplica i como v(x,y), temos
u(x,y)=x^2-y^2-5x+3,
v(x,y)=2xy-5y

Resposta

u(x,y)=x^2 - y^2 - 5x + 3, v(x,y)=2xy - 5y

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