Considerando z como função de x e y (ou seja, z=f(x, y) ) use derivação implícita para calcular partial z / partial x e partial z / partial y nos seguinte casos:
x z+y z+x y z=42

Passo 1

Estamos com a equação implícita que define z como função de x e y: x z + y z + x y z = 42. O conteúdo aqui é derivação implícita de funções de duas variáveis, e vamos precisar usar a regra de que, para F(x,y,z)=0, vale Fx + Fz partial zpartial x=0 e Fy + Fz partial zpartial y=0.

Passo 2

Definimos a função implícita em bloco:
F(x,y,z)=x z + y z + x y z - 42=0
Em seguida, aplicamos a regra da derivação implícita, que diz que a derivada parcial de z em relação a x é -Fx/Fz e em relação a y é -Fy/Fz).

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de F mantendo z fixo onde apropriado e sem incluir zx ou zy:
Fx=partialpartial x(x z)+partialpartial x(y z)+partialpartial x(x y z)=z + y z = z(1+y),
Fy=partialpartial y(x z)+partialpartial y(y z)+partialpartial y(x y z)=z + x z = z(1+x),
Fz=partialpartial z(x z + y z + x y z)=x + y + x y

Passo 4

Aplicando as fórmulas da derivação implícita obtemos em cada caso:
partial zpartial x=-FxFz=-z(1+y)x+y+xy,
partial zpartial y=-FyFz=-z(1+x)x+y+xy

Resposta

partial zpartial x=-z(1+y)x+y+xy, partial zpartial y=-z(1+x)x+y+xy

Exercícios relacionados