Exercício 6 Dê os domínios e esboce os gráficos de f+g e gf:
l1 se x in Q -1 se x notin Q
(e) g(x)=l-1 se x in Q 1 se x notin Q

Passo 1

O enunciado pede para achar os domínios e esboçar os gráficos das funções f+g e tfracgf, onde
f(x)=1,&xinQ-1,&xnotinQ
e
g(x)=-1,&xinQ1,&xnotinQ
O conteúdo é operações entre funções (soma e quociente) e precisamos usar: (1) o domínio de f+g é a interseção dos domínios de f e g; (2) o domínio de g/f é a interseção dos domínios de g e f, excluindo pontos em que f=0.

Passo 2

Como f e g estão definidas para todo xinR, o domínio de f+g é
Dom(f+g)=R
Agora, para cada x:
  • Se xinQ, então f(x)=1 e g(x)=-1, logo f(x)+g(x)=0.
  • Se xnotinQ, então f(x)=-1 e g(x)=1, logo f(x)+g(x)=0.
    Portanto, f+g é a função constante zero.

Passo 3

O gráfico de f+g é simplesmente a reta horizontal no eixo x, porque
(f+g)(x)=0forall x,
ou seja, é a função constante y=0.

Passo 4

Novamente, como f(x)=pm1 nunca é nulo, o domínio de g/f também é todo R:
Dom(g/f)=R
Para o valor:
  • Se xinQ, g(x)=-1 e f(x)=1, então g(x)/f(x)=-1.
  • Se xnotinQ, g(x)=1 e f(x)=-1, então g(x)/f(x)=-1.
    Logo g/f é a função constante -1.

Passo 5

O gráfico de g/f é a reta horizontal
g(x)f(x)=-1forall x,
nivelada em y=-1.

Resposta

Domínio de f+g: R. Gráfico: reta horizontal y=0.
Domínio de g/f: R. Gráfico: reta horizontal y=-1.

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