Considerando as funções dadas abaixo, determine o que se pede:
Derive as funçôes
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais das funções de duas variáveis
f(x,y)=ln(9−x²−y²)+√(1−y²) e g(x,y)=10−4x−5y. Vamos usar a regra da cadeia e as fórmulas conhecidas: d/d u[ln(u)]=1/u·u′ e d/d u[√u]=u′/(2√u), além de derivadas de polinômios.
f(x,y)=ln(9−x²−y²)+√(1−y²) e g(x,y)=10−4x−5y. Vamos usar a regra da cadeia e as fórmulas conhecidas: d/d u[ln(u)]=1/u·u′ e d/d u[√u]=u′/(2√u), além de derivadas de polinômios.
Passo 2
Para f(x,y), observe que o termo √(1−y²) não depende de x, então
– ∂/∂x[ln(9−x²−y²)] = (1/(9−x²−y²))·(−2x) = −2x/(9−x²−y²)
– ∂/∂y[ln(9−x²−y²)] = (1/(9−x²−y²))·(−2y) = −2y/(9−x²−y²)
– ∂/∂y[√(1−y²)] = (1/(2√(1−y²)))·(−2y) = −y/√(1−y²)
Somando, temos as parciais de f.
Passo 3
Para g(x,y)=10−4x−5y, que é uma função linear, basta lembrar que a derivada de ax+b em relação a x é a e que a função não envolve o outro variável:
– ∂g/∂x = −4
– ∂g/∂y = −5
Resposta
As derivadas parciais são: