1. lim (x, y) (0,0) x^4-y^4x^2+y^2
  2. lim (x, y) (0,0) x^4-16 y^4x^2+4 y^2
  3. lim (x, y) (0,0) x y3 x^2+2 y^2
  4. lim (x, y) (0,0) 1-x^2-y^2x^2+y^2
  5. lim (x, y, z) (2,-1,2) x z^2raizx^2+y^2+z^2
  6. lim (x, y, z) (2,0,-1) ln (2 x+y-z)
  7. lim (x, y, z) (0,0,0) sen(x^2+y^2+z^2)raizx^2+y^2+z^2
  8. lim (x, y, z) (0,0,0) sen raizx^2+y^2+z^2x^2+y^2+z^2
  9. lim (x, y, z) (0,0,0) e^raizx^2+y^2+z^2raizx^2+y^2+z^2
  10. lim (x, y, z) (0,0,0) arctg[1x^2+y^2+z^2]

Passo 1

O exercício pede para calcular vários limites em que algumas funções dependem de dois ou três variáveis e tendem a pontos como (0,0), (2,-1,2), etc. Os conteúdos principais são: limites em várias variáveis, uso de coordenadas polares para limites na origem e substituição direta para limites em pontos distintos da origem.

Passo 2

Para os limites em (0,0) de funções racionais de x e y, adotamos coordenadas polares: x = r cos θ, y = r sin θ. Assim expressamos numerador e denominador em potências de r e analisamos o comportamento quando r → 0.

Passo 3

Para o item 13, em coordenadas polares temos numerador r⁴(cos⁴θ − sin⁴θ) e denominador r². Logo o quociente é r²(cos⁴θ − sin⁴θ) → 0, pois r² → 0 independentemente de θ.

Passo 4

Para o item 14, numerador = r⁴(cos⁴θ − 16 sin⁴θ) e denominador = r²(cos²θ + 4 sin²θ). O quociente = r²[(cos⁴θ − 16 sin⁴θ)/(cos²θ + 4 sin²θ)] → 0.

Passo 5

Para o item 15, numerador = r² cos θ sin θ e denominador = r²(3 cos²θ + 2 sin²θ). O limite torna-se (cos θ sin θ)/(3 cos²θ+2 sin²θ), que depende de θ (por exemplo, θ=0 dá 0 e θ=π/4 dá 1/5). Logo o limite não existe.

Passo 6

Para o item 16, numerador = 1 − r² e denominador = r². O quociente = (1/r²) − 1, que tende a +∞ quando r → 0, logo o limite é infinito (não existe finito).

Passo 7

Para o item 17 aplicamos substituição direta em (x,y,z) = (2,−1,2): temos x z²/√(x²+y²+z²) = 2·2²/√(4+1+4) = 8/3.

Passo 8

Para o item 18 substituímos em ln(2x+y−z) no ponto (2,0,−1): o argumento = 2·2 + 0 − (−1) = 5, então o limite é ln 5.

Passo 9

Para o item 19, com r = √(x²+y²+z²), a função é sin(r²)/r. Como sin(r²) ~ r² quando r→0, o quociente ~ r²/r = r → 0.

Passo 10

Para o item 20, a função é sin®/r². Como sin® ~ r, o quociente ~ r/r² = 1/r → +∞ (não existe finito).

Passo 11

Para o item 21, a expressão é e^{r}/r com r → 0, que se comporta como 1/r → +∞ (não existe finito).

Passo 12

Para o item 22, temos arctg(1/r²) com r → 0, então 1/r² → +∞ e arctg(+∞) = π/2.

Resposta

  1. 0; 14) 0; 15) não existe; 16) não existe (∞); 17) 8/3; 18) ln 5; 19) 0; 20) não existe (∞); 21) não existe (∞); 22) π/2

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