Considerando f, g e h funções de duas variáveis dadas por
  • f(x, y)=1x^2 ln (y-x)
  • g(x, y)=1-12 raizx^2+y^2
  • h(x, y)=ln (e^x+e^y)
    determine o que se pede:
    c) Mostre que partial^2 hpartial x^2 cdot partial^2 hpartial y^2-(partial^2 hpartial x partial y)^2=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis $ h(x, y) = \ln\left(e^{x} + e^{y}\right) $ e precisamos mostrar que:
h(x, y) = ln(e^x + e^y)
Para isso, vamos trabalhar com derivadas parciais de segunda ordem. Vamos calcular cada uma delas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de $ h $ em relação a $ x $:
h
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de $ \ln(u) $ é $ \frac{u’}{u} $, onde $ u = e^{x} + e^{y} $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de $ h $ em relação a $ x $:
h
Usando a regra do quociente:
x

Passo 4

Vamos encontrar a primeira derivada parcial de $ h $ em relação a $ y $:
h
Novamente, aplicamos a regra da cadeia.

Passo 5

Agora, calculamos a segunda derivada parcial de $ h $ em relação a $ y $:
h
Usando a regra do quociente:
y

Passo 6

Vamos agora encontrar a derivada parcial mista de $ h $, ou seja, a derivada parcial de $ \frac{\partial h}{\partial x} $ em relação a $ y $:
h
Aplicando a regra do quociente:
partial hpartial x

Passo 7

Agora, vamos substituir as derivadas que encontramos na expressão que queremos mostrar:
partial^2 hpartial x^2 cdot partial^2 hpartial y^2 - ( partial^2 hpartial x partial y )^2
Substituindo:
( e^x e^y(e^x + e^y)^2 ) cdot ( e^x e^y(e^x + e^y)^2 ) - ( -e^x e^y(e^x + e^y)^2 )^2

Passo 8

Simplificando a expressão:
e^2x e^2y(e^x + e^y)^4 - e^2x e^2y(e^x + e^y)^4 = 0

Resposta

Assim, mostramos que:
partial^2 hpartial x^2 cdot partial^2 hpartial y^2 - (partial^2 hpartial x partial y)^2 = 0

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