Considerando
e
funções de duas variáveis dadas por
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determine o que se pede:
c) Mostre que
.
determine o que se pede:
c) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis $ h(x, y) = \ln\left(e^{x} + e^{y}\right) $ e precisamos mostrar que:
Para isso, vamos trabalhar com derivadas parciais de segunda ordem. Vamos calcular cada uma delas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de $ h $ em relação a $ x $:
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de $ \ln(u) $ é $ \frac{u’}{u} $, onde $ u = e^{x} + e^{y} $.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de $ h $ em relação a $ x $:
Usando a regra do quociente:
Passo 4
Vamos encontrar a primeira derivada parcial de $ h $ em relação a $ y $:
Novamente, aplicamos a regra da cadeia.
Passo 5
Agora, calculamos a segunda derivada parcial de $ h $ em relação a $ y $:
Usando a regra do quociente:
Passo 6
Vamos agora encontrar a derivada parcial mista de $ h $, ou seja, a derivada parcial de $ \frac{\partial h}{\partial x} $ em relação a $ y $:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 7
Agora, vamos substituir as derivadas que encontramos na expressão que queremos mostrar:
Substituindo:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Resposta
Assim, mostramos que: