Considere a série cujos termos são os recíprocos dos inteiros positivos que não possuem 0 na sua representação na base 10.
Agrupe os termos dessa série de modo que cada grupo gi seja composto por números cujo denominador tem o mesmo número de dígitos.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para agrupar os termos de uma série onde cada termo é o recíproco de um número inteiro positivo que não tem o dígito 0 na sua representação em base 10. O conteúdo aqui envolve sequências numéricas e análise combinatória. Para resolver, vamos precisar entender como contar quantos números têm um certo número de dígitos sem usar o 0.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais números vamos considerar. São todos os inteiros positivos sem o dígito 0. Então, números de 1 dígito são de 1 a 9, os de 2 dígitos vão de 11 a 99, mas sem nenhum 0, e assim por diante.

Passo 3

Agora, vamos agrupar esses números de acordo com a quantidade de dígitos que eles têm. Cada grupo vai conter números com exatamente dígitos. Por exemplo:
  • : números de 1 dígito (1 a 9)
  • : números de 2 dígitos (11 a 99, sem 0)
  • : números de 3 dígitos (111 a 999, sem 0)
  • E assim por diante.

Passo 4

Para saber quantos números tem em cada grupo , vamos pensar nos dígitos individuais. Para cada posição de dígito, temos 9 opções (1 a 9), já que o 0 não é permitido. Ent��o, para um número com dígitos, temos escolhas para cada um dos dígitos.

Passo 5

Isso significa que o número de termos em cada grupo é . Por exemplo:
  • : termos
  • : termos
  • : termos

Passo 6

Com isso, podemos escrever a série original como a soma de todos esses grupos:
sumn=1^infty sumsubstackk tem n dígitos k sem 0 1k = sumi=1^infty sumk in gi 1k í
Onde cada contém todos os números de dígitos sem o dígito 0.

Resposta

Agrupando os termos da série conforme o número de dígitos, temos que cada grupo sumi=1^infty sumk in gi 1k é composto por números sem o dígito 0. Assim, a série pode ser representada como a soma dos grupos:

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