Considere a série cujos termos são os recíprocos dos inteiros positivos que não possuem 0 na sua representação na base 10.
Agrupe os termos dessa série de modo que cada grupo
seja composto por números cujo denominador tem o mesmo número de dígitos.
Agrupe os termos dessa série de modo que cada grupo
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para agrupar os termos de uma série onde cada termo é o recíproco de um número inteiro positivo que não tem o dígito 0 na sua representação em base 10. O conteúdo aqui envolve sequências numéricas e análise combinatória. Para resolver, vamos precisar entender como contar quantos números têm um certo número de dígitos sem usar o 0.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais números vamos considerar. São todos os inteiros positivos sem o dígito 0. Então, números de 1 dígito são de 1 a 9, os de 2 dígitos vão de 11 a 99, mas sem nenhum 0, e assim por diante.
Passo 3
Agora, vamos agrupar esses números de acordo com a quantidade de dígitos que eles têm. Cada grupo
vai conter números com exatamente
dígitos. Por exemplo:
-
: números de 1 dígito (1 a 9) -
: números de 2 dígitos (11 a 99, sem 0) -
: números de 3 dígitos (111 a 999, sem 0) - E assim por diante.
Passo 4
Para saber quantos números tem em cada grupo
, vamos pensar nos dígitos individuais. Para cada posição de dígito, temos 9 opções (1 a 9), já que o 0 não é permitido. Ent��o, para um número com
dígitos, temos
escolhas para cada um dos
dígitos.
Passo 5
Isso significa que o número de termos em cada grupo
é
. Por exemplo:
-
: termos -
: termos -
: termos
Passo 6
Com isso, podemos escrever a série original como a soma de todos esses grupos:
Onde cada
contém todos os números de
dígitos sem o dígito 0.
Resposta
Agrupando os termos da série conforme o número de dígitos, temos que cada grupo
é composto por
números sem o dígito 0. Assim, a série pode ser representada como a soma dos grupos: