Seja f: R R a função periódica de período 2 pi que satisfaz f(x)=|x| para x in(-pi, pi].
Neste caso específico, a série de Fourier converge para a função f em todos os pontos do seu domínio? Justifique.

Passo 1

A questão nos diz que temos uma função periódica de período 2pi, definida em ( -pi,pi ] por f(x)=|x| e estendida periodicamente. O que queremos é saber se a série de Fourier dessa função converge para f(x) em todo ponto do domínio, e para isso vamos usar os critérios de convergência ponto a ponto (teorema de Dirichlet).

Passo 2

Primeiro, observe que numa extensão de período 2pi basta analisar f em um período, digamos em [-pi,pi]. Nessa região a função f(x)=|x| é contínua em todo ponto, pois em x=0 e em x=pmpi os limites laterais coincidem com o valor da função (em pmpi, por periodicidade, o valor à direita de pi é o de -pi, que também dá pi).
Em seguida, note que em cada subintervalo aberto (-pi,0) e (0,pi) a função é diferenciável e sua derivada é limitada ( f'(x)=-1 se x<0 e f'(x)=1 se x>0). Ou seja, f é contínua em [-pi,pi] e possui derivada descontínua apenas em um número finito de pontos ( x=0 e x=pmpi), atendendo às condições de Dirichlet para convergência da série de Fourier.

Passo 3

O teorema de Dirichlet nos diz que, para uma função periódica que seja contínua num ponto x e cuja variação em torno de x seja limitada, a série de Fourier converge para tfracf(x^-)+f(x^+)2.
Como já vimos que f é contínua em todo ponto, temos sempre f(x^-)=f(x^+) = f(x). Logo a média tfracf(x^-)+f(x^+)2 cai em f(x) e, portanto, a série de Fourier converge para f(x) em cada x.

Resposta

Sim. Como f é contínua em todos os pontos e satisfaz as condições de Dirichlet (é localmente de variação limitada e diferenciável por partes), a série de Fourier converge ponto a ponto para f(x) em todo o domínio.

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