Seja
a função periódica de período
que satisfaz
para
.
Neste caso específico, a série de Fourier converge para a função
em todos os pontos do seu domínio? Justifique.
Neste caso específico, a série de Fourier converge para a função
Passo 1
A questão nos diz que temos uma função periódica de período
, definida em
por
e estendida periodicamente. O que queremos é saber se a série de Fourier dessa função converge para
em todo ponto do domínio, e para isso vamos usar os critérios de convergência ponto a ponto (teorema de Dirichlet).
Passo 2
Primeiro, observe que numa extensão de período
basta analisar
em um período, digamos em
. Nessa região a função
é contínua em todo ponto, pois em
e em
os limites laterais coincidem com o valor da função (em
, por periodicidade, o valor à direita de
é o de
, que também dá
).
Em seguida, note que em cada subintervalo aberto e
a função é diferenciável e sua derivada é limitada (
se
e
se
). Ou seja,
é contínua em
e possui derivada descontínua apenas em um número finito de pontos (
e
), atendendo às condições de Dirichlet para convergência da série de Fourier.
Em seguida, note que em cada subintervalo aberto
Passo 3
O teorema de Dirichlet nos diz que, para uma função periódica que seja contínua num ponto
e cuja variação em torno de
seja limitada, a série de Fourier converge para
.
Como já vimos que é contínua em todo ponto, temos sempre
. Logo a média
cai em
e, portanto, a série de Fourier converge para
em cada
.
Como já vimos que
Resposta
Sim. Como
é contínua em todos os pontos e satisfaz as condições de Dirichlet (é localmente de variação limitada e diferenciável por partes), a série de Fourier converge ponto a ponto para
em todo o domínio.