Considerando f, g e h funções de duas variáveis dadas por
  • f(x, y)=1x^2 ln (y-x)
  • g(x, y)=1-12 raizx^2+y^2
  • h(x, y)=ln (e^x+e^y)
    determine o que se pede:
    a) Domínio das funções f e g e seus esboços;

Passo 1

O enunciado pede o domínio de duas funções de duas variáveis, f e g. Vamos usar teoria de domínio de funções de várias variáveis, prestando atenção em: definição de logaritmo (argumento >0) e denominadores não nulos.

Passo 2

Para f(x,y)=\frac{1}{x^{2}\ln(y-x)}, temos duas condições principais: (i) o argumento do logaritmo deve ser positivo, ou seja y-x>0; (ii) o denominador não pode ser zero, logo x^2neq0 (ou seja, xneq0) e ln(y-x)neq0 (ou seja, y-xneq1).
Combinando tudo, o domínio de f é
D(f)=(x,y)in R^2:;xneq0,;y-x>0,;y-xneq1

Passo 3

Para g(x,y)=1-\frac{1}{2\sqrt{x{2}+y{2}}}, o radical está sempre definido. A única restrição é evitar denominador zero, ou seja raizx^2+y^2neq0, isto é x^2+y^2>0.
Logo o domínio de g é
D(g)= R^2setminus(0,0)
Em esboço, D(f) é a região acima da reta y=x, tirando a reta y=x+1 e o eixo x=0; D(g) é o plano todo com o ponto (0,0) removido.

Resposta

D(f)={(x,y)\in\mathbb R^2:,x\neq0,,y-x>0,,y-x\neq1}. D(g)=\mathbb R^2\setminus{(0,0)}.

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