Considerando f, g e h funções de duas variáveis dadas por
  • f(x, y)=1x^2 ln (y-x)
  • g(x, y)=1-12 raizx^2+y^2
  • h(x, y)=ln (e^x+e^y)
    determine o que se pede:
    b) Calcule a imagem do ponto (2,0) pelas funções f e g, quando possível, caso contrário justifique.

Passo 1

Neste exercício temos as funções f, g e h, e o enunciado pede a imagem do ponto (2,0) pelas funções f e g. Para isso, vamos verificar o domínio de cada função e calcular o valor quando possível.

Passo 2

Para calcular f(2,0), observamos que f(x,y)=1x^2ln(y-x) só está definida se xneq0 e y-x>0. No ponto (2,0) temos y-x=0-2=-2, que não satisfaz y-x>0, pois ln(-2) é indefinido nos reais. Portanto, f(2,0) não existe.

Passo 3

Para calcular g(2,0), usamos g(x,y)=1-12raizx^2+y^2. Em (2,0) temos raiz2^2+0^2=raiz4=2, que é diferente de zero, então a função está definida. Logo,

Passo 4

g(2,0)=1-12cdot2=1-14=34

Resposta

Não existe f(2,0) pois o ponto não pertence ao domínio de f; e g(2,0)=34.

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